Question

18．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG且EG⊥CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？

Answer 1

分析 （1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证出CG=EG；证明C、D、E、F四点共圆，圆心为G，由圆周角定理得出∠EGC=2∠BDC=90°，得出EG⊥CG；
（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．
（3）先证明△DCG≌△FMG，得出MF=CD，再证明△MFE≌△CBE，得出∠MEF=∠CEB，CE=EM，得出∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，证出△MEC为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．

解答 （1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，
∴CG=$\frac{1}{2}$FD，
同理，在Rt△DEF中，EG=$\frac{1}{2}$FD，
∴CG=EG；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BDC=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠DEF=90°，
∴∠DEF+∠BCD=180°，
∴C、D、E、F四点共圆，圆心为G，
∴∠EGC=2∠BDC=90°，
∴EG⊥CG；

（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：
延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，如图②所示：
在△DCG与△FMG中，$\left\{\begin{array}{l}{FG=DG}\\{∠MGF=∠CGD}\\{MG=CG}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△FMG（SAS），
∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，
∵四边形ABCD，
∴BC=CD，AB∥CD，
∴MF∥CD∥AB，MF=CB，
∵FE⊥AB，△BEF是等腰直角三角形，
∴EF⊥MF，BE=EF，
在Rt△MFE与Rt△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{MF=CB}\\{∠MFE=∠EBC}\\{EF=BE}\end{array}\right.$，
∴△MFE≌△CBE（SAS），
∴∠MEF=∠CEB，CE=EM，
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，
∴△MEC为等腰直角三角形，
∵MG=CG，
∴EG=$\frac{1}{2}$MC，EG⊥CG，
∴EG=CG；

（3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：
过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN⊥AB于N，如图③所示：
∵FM∥CD，
∴∠GCD=∠GMF
在△DCG与△FMG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CGD=∠MGF}\\{∠GCD=∠GMF}\\{DG=FG}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△FMG（AAS），
∴MF=CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，AB∥CD，
∴MF∥CD∥AB，MF=CB，
∵FN⊥AB，
∴FN⊥MF，∠NFE=∠EBN，
∴∠MFE=∠EBC，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=EF，
在△MFE与△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{MF=CB}\\{∠MFE=∠EBC}\\{EF=BE}\end{array}\right.$，
∴△MFE≌△CBE（SAS），
∴∠MEF=∠CEB，CE=EM，
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，
∴△MEC为等腰直角三角形，
∵G为CM中点，
∴EG=CG，EG⊥CG．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．