Question

【题目】如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，CFBD．

（1）求证：BE＝CE；

（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；

（3）若BC＝6，AD＝10，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）菱形，理由见解析；（3）

【解析】

（1）首先利用HL证明Rt△ABD≌Rt△ACD，则有∠BAD＝∠CAD，然后再利用等腰三角形三线合一即可证明结论；

（2）首先根据等腰三角形三线合一得出AD⊥BC，然后进一步可证明△BED≌△CEF，则有CF＝BD，利用一组对边平行且相等可证明四边形BFCD是平行四边形，再利用Rt△ABD≌Rt△ACD证明BD＝CD即可证明四边形BFCD是菱形；

（3）首先证明△AEC∽△CED，则有，设DE＝x，建立一个关于x的方程，解方程即可求出DE的值，最后再利用勾股定理即可求出CD的长度．

解（1）证明：∵AD是直径，

∴∠ABD＝∠ACD＝90°，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AB＝AC，

∴BE＝CE；

（2）四边形BFCD是菱形．

证明：∵AB＝AC，BE＝CE，

∴AD⊥BC，

∵CFBD，

∴∠FCE＝∠DBE，

在△BED和△CEF中

，

∴△BED≌△CEF，

∴CF＝BD，

∴四边形BFCD是平行四边形，

∵Rt△ABD≌Rt△ACD，

∴BD＝CD，

∴四边形BFCD是菱形；

（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE＝CE，且∠AEC＝∠CED，∠CAE＝∠ECD，

∴△AEC∽△CED，

∴，

∴CE2＝DEAE，

设DE＝x，

∵BC＝6，AD＝10，

，

∴32＝x（10﹣x），

解得：x＝1或x＝9（舍去）

在Rt△CED中，

CD＝＝．