Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C且，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足为F，BF交⊙O于G。

（1）求证：CE²=FG·FB；
（2）若tan∠CBF=，AE=3，求⊙O的直径。

Answer 1

解：（1）证明：连结AC，
∵AB为直径，∠ACB=90°，
∵，且AB是直径，
∴AB⊥CD即CE是Rt△ABC的高，
∴∠A=∠ECB，∠ACE=∠EBC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠FCB=∠A，CF²=FG·FB，
∴∠FCB=∠ECB，
∵∠BFC=∠CEB=90°，CB=CB，
∴△BCF≌△BCE，
∴CE=CF，∠FBC=∠CBE，
∴CE²=FG·FB；
（2）∵∠CBF=∠CBE，∠CBE=∠ACE，
∴∠ACE=∠CBF，
∴tan∠CBF=tan∠ACE==，
∵AE=3，
∴CE=6，
在Rt△ABC中，CE是高，
∴CE²=AE·EB，即6²=3EB，
∴EB=12，
∴⊙O的直径为：12+3=15。