Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、D（-4，4），以AD为边作如图所示的正方形ABCD，顶点在坐标原点的抛物线恰好经过点D，P为抛物线上的一动点．过点E（0，-1）直线L平行于x轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接PA，过点P作PM⊥直线L，交直线L于M，试说明：PA=PM；
（3）当点P位于何处时，△APB的周长有最小值，并求出△APB的周长的最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设抛物线解析式为y=ax²，把D点坐标代入求出a的值，进而求出抛物线解析式；
（2）设P点坐标为（x，

1

4

x²），分别求出P点到A点的距离和到直线L的距离，即可证明PA=PM；
（3）作A点关于x轴的对称点A′，过A′作x轴的平行线m，过B点作BE′⊥直线m交于点E′，P′点就是△APB的周长有最小值时P点的位置，首先证明P′A=P′E′，然后P′坐标，进而求出△APB的周长有最小值．

解答：解：（1）设抛物线解析式为y=ax²，抛物线经过点D坐标（-4，4），
即4=16a，解得a=

1

4

，
所以抛物线解析式为y=

1

4

x²；
（2）设P点坐标为（x，

1

4

x²），A点坐标为（0，1），
PA=

x2 +( 1 4  x2-1)2

=

1

4

x²+1，点P到x轴的距离d=

1

4

x²，
∵过点E（0，-1）直线L平行于x轴，
∴PM═

1

4

x²+1，
∴PA=PM；
（3）作A点关于x轴的对称点A′，过A′作x轴的平行线m，过B点作BE′⊥直线m交于点E′，P′点就是△APB的周长有最小值时P点的位置，
∵A点坐标为（0，1），
∴A′点坐标为（0，-1），
首先证明P′A=P′E′，
设P′点坐标为（x，y），
|P′A|=

x2+(y-1)2

=

4y+(y-1)2

=|y+1|，|P′E|=|y+1|，
于是证明出P′A=P′E，
而点P'在抛物线上，且其横坐标为3，
∴点P'坐标为（3，

9

4

）；由于两点之间线段最短，那么此时△APB的周长最短；
因此，当点P为（3，

9

4

）时，△APB的周长值最小，且为L=|AB|+|AP|+|BP|=|AB|+|BE|=5+6=11．

点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，涉及到抛物线的性质，两点间距离的求法，此题难度较大，特别是（3）问，需要同学们很强的解答二次函数试题的综合能力．