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    （2011•红安县模拟）如图，二次函数的图象经过点D（0，），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得线段AB长为6．
    （1）利用二次函数的对称性直接写出点A、B的坐标为______；
    （2）求二次函数的解析式；
    （3）该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
    （4）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）根据函数的对称性，又由AB=6，对称轴x=4，即可求得A，B的坐标；
    （2）利用待定系数法，设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2+k，又由抛物线过点A，B，D即可求得抛物线的解析式；
    （3）由PA=PB，可知：当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值，则可利用△BPM∽△BDO求得点P的坐标；
    （4）首先求得点C的坐标，利用三角函数求得∠ACB的度数，分当点Q在x轴上方时与当点Q在x轴下方时求解即可，注意要检验是否所得结果符合题意．
    解答：解：（1）∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，
    ∴A（1，0）、B（7，0）；

    （2）设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2+k，
    ∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，），
    ∴y=a（x-4）2+k=16a+k①，
    又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，
    ∴A（1，0），B（7，0），
    ∴0=9a+k②，
    由①②解得a=，k=-，
    ∴二次函数的解析式为：y=（x-4）2-或y=x2-x+．

    （3）解法一：∵点A、B关于直线x=4对称，
    ∴PA=PB，
    ∴PA+PD=PB+PD≥DB，
    ∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值，
    ∴DB与对称轴的交点即为所求点P，
    设直线x=4与x轴交于点M，
    ∵PM∥OD，
    ∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，
    ∴△BPM∽△BDO，
    ∴，
    ∴PM==，
    ∴点P的坐标为（4，）．

    解法二：利用待定系数法求一次函数解析式，即直线DB为y=-+．

    （4）由（1）知点C（4，-），
    又∵AM=3，
    ∴在Rt△AMC中，cos∠ACM=，
    ∴∠ACM=60°，
    ∵AC=BC，
    ∴∠ACB=120°
    ①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ，
    由△ACB∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=∠ACB=120°，则∠QBN=60°，
    ∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q（10，3），如果AB=AQ，由对称性知Q（-2，3）
    ②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是（4，-），
    经检验，点（10，3）与（-2，3）都在抛物线上，
    综上所述，经验证：存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，
    点Q的坐标为（10，3）或（-2，3）或（4，-）．
    点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，根据函数对称性求点的坐标，以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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