【答案】
分析:(1)利用一元二次方程根的判别式进行判断,若△>0,则-x
2+2ax-4a+8=0有两个不相等的实数根,即
二次函数的图象与x轴总有两个交点,据此可求出a的取值范围.
(2)将二次函数解析式转化为顶点式,找到对称轴,根据对称轴在x=2的左侧或与x=2重合得到a≤2.
(3)解法一:正三角形的面积只与二次函数图形的开口大小有关,二次函数y=-x
2+2ax-4a+8的图象可以看做是二次函数y=-x
2的图象通过平移得到的,于是研究y=-x
2的图象与正三角形△A'M'N'的面积即可,计算出M′N′H和A′B′即可计算三角形的面积为定值;
解法二:根据抛物线和正三角形的对称性,可知MN⊥y轴,利用三角函数求出
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191328828037429/SYS201311011913288280374022_DA/0.png)
,设M(m,n),得到BM=a-m(m<a),AB=y
A-y
B=a
2-4a+8-n,计算出它们的值,利用三角形面积公式计算出面积为定值.
解答:解:(1)∵△=4a
2-16a+32=4(a-2)
2+16,
无论a为何实数△=4(a-2)
2+16>0,
∴抛物线与x轴总有两个交点.
(2)∵y=-x
2+2ax-4a+8,
∴y=-(x-a)
2+a
2-4a+8,
∴由题意得,对称轴在x=2的左侧或与x=2重合,
故a≤2.
(3)如图:
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191328828037429/SYS201311011913288280374022_DA/images1.png)
解法一:以二次函数y=-x
2+2ax-4a+8图象的顶点A为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形AMN(M,N两点在二次函数的图象上),
这个正三角形的面积只与二次函数图形的开口大小有关.
二次函数y=-x
2+2ax-4a+8的图象可以看做是二次函数y=-x
2的图象通过平移得到的.
如图,正三角形AMN的面积等于正三角形△A'M'N'的面积.
因此,与a的取值无关,
∵点A',M,'N'在二次函数y=-x
2的图象上,
∴A'(0,0),M'(-m,-m
2),N'(m,-m
2),B'(0,-m
2),B'N'=m,
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191328828037429/SYS201311011913288280374022_DA/1.png)
,
∵点N'在y=-x
2的图象上,
∴A'B'=m
2,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191328828037429/SYS201311011913288280374022_DA/2.png)
,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191328828037429/SYS201311011913288280374022_DA/3.png)
m=0(舍去),
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191328828037429/SYS201311011913288280374022_DA/4.png)
,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191328828037429/SYS201311011913288280374022_DA/5.png)
,A'B'=3,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191328828037429/SYS201311011913288280374022_DA/6.png)
,
∴正三角形AMN的面积是与a无关的定值,定值为
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191328828037429/SYS201311011913288280374022_DA/7.png)
.
解法二:根据抛物线和正三角形的对称性,可知MN⊥y轴,
设抛物线的对称轴与MN交于点B,则
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191328828037429/SYS201311011913288280374022_DA/8.png)
,
设M(m,n),
∴BM=a-m(m<a),
又AB=y
A-y
B=a
2-4a+8-n
=(a
2-4a+8)-(-m
2+2am-4a+8)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191328828037429/SYS201311011913288280374022_DA/9.png)
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191328828037429/SYS201311011913288280374022_DA/10.png)
,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191328828037429/SYS201311011913288280374022_DA/11.png)
,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191328828037429/SYS201311011913288280374022_DA/12.png)
,AB=3,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191328828037429/SYS201311011913288280374022_DA/13.png)
,
∴正三角形AMN的面积是与a无关的定值.
点评:本题考查了二次函数与x轴的交点问题、根的判别式、对称轴与不等式、二次函数的平移、正三角形的性质等知识,综合性强,思维含量高,需要同学们加强练习,方能正确解答.