Question

如图，锐角△ABC中，高BE、CF交于点H．
（1）若∠BAC=70°，求∠BHC的度数；
（2）直接给出四条线段AF、HE、AC、CH之间的数量关系；
（3）若AD平分∠BAC交BC于D，AD、CF交于点K，HG平分∠BHC交BC于G．求证：HG∥AD．

Answer 1

解：（1）在四边形AFHE中，∠AFH=∠AEH=90°，∠BAC=70°，
∴∠BHC=∠FHE=360°-（∠AFH+∠AEH+∠BAC），
=360°-250°，
=110°；
或∠BHC=∠HEC+∠ACH=90°+（90°-∠FAC）=180°-70°=110°；

（2）∵∠ACF=∠HCE，∠AFC=∠HEC=90°，
∴△ACF∽△HCE，
∴=，或AF•HC=HE•AC；

（3）由（1）得∠BHC=360°-（90°+90°+∠BAC），
=180°-∠BAC，
又∵HG平分∠BHC，
∴∠GHC=∠BHC=90°-∠BAC，
∠DKH=∠AKF=90°-∠FAK=90°-∠BAC，
∴∠GHC=∠DKH，
∴HG∥AD．
分析：（1）利用四边形的内角和定理列式计算即可得解；
（2）根据△ACF和△HCE相似，利用相似三角形对应边成比例列式即可；
（3）用∠BAC表示出∠GHC和∠DKH，然后根据同位角相等两直线平行证明．
点评：本题考查了多边形的内角和，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的判定，熟记性质与判定是解题的关键．