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    精英家教网已知P是△ABC内任意一点（如图）．
    （1）求证：
    12
    （a+b+c）＜PA+PB+PC＜a+b+c；
    （2）若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PA+PB+PC＜2．
    分析：（1）由三角形两边之和大于第三边得PA+PB＞c，PB+PC＞a，PC+PA＞b，则有PA+PB+PC＞
    1
    2
    （a+b+c）；由定理4可知PA+PB＜a+b，PB+PC＜b+c，PC+PA＜c+a，则有PA+PB+PC＜a+b+c．从而得以证明．
    （2）过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，可得PA＜max{AD，AE}=AD，PB＜BD+DP，PC＜PE+EC，根据不等式的性质即可证明PA+PB+PC＜2．
    解答：证明：（1）由三角形两边之和大于第三边得
    PA+PB＞c，PB+PC＞a，PC+PA＞b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得
    PA+PB+PC＞
    1
    2
    （a+b+c）．
    又由定理4可知
    PA+PB＜a+b，PB+PC＜b+c，
    PC+PA＜c+a．
    把它们相加，再除以2，便得
    PA+PB+PC＜a+b+c．
    所以
    1
    2
    （a+b+c）＜PA+PB+PC＜a+b+c；

    （2）过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，如图所示．于是
    PA＜max{AD，AE}=AD，
    PB＜BD+DP，PC＜PE+EC，
    所以PA+PB+PC＜AD+BD+DP+PE+EC=AB+AE+EC=2．
    点评：本题考查了三角形三边关系和正三角形的性质，同时考查了不等式的性质，综合性较强，有一定的难度．
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    27、已知△ABC，
    （1）如图，若D点是△ABC内任一点、求证：∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．

    （2）若D点是△ABC外一点，位置如图所示．猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式．（不需要证明）

    （3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示、猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论．

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    （1）如图1，若D点是△ABC内任一点，BD、CD分别为∠ABC、∠ACB的角平分线． 则∠D、∠A的关系为
    ∠D=90°+
    1
    2
    ∠A
    ∠D=90°+
    1
    2
    ∠A
    ．
    （2）若D点是△ABC外一点，位置如图2所示．BD、CD分别为∠FBC、∠ECB的角平分线． 则∠D、∠A的关系为
    ∠D=90°-
    1
    2
    ∠A
    ∠D=90°-
    1
    2
    ∠A
    ．
    （3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示．BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线． 则∠D、∠A的关系为
    ∠D=
    1
    2
    ∠A
    ∠D=
    1
    2
    ∠A
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，P是△ABC内任一点，求证：∠BPC＞∠A．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    (25分)已知G是△ABC内任一点，BG、CG分别交AC、AB于点E、F.
    求使不等式S△BGF·S△CGE≤kS2△ABC恒成立的k的最小值.

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    科目：初中数学 来源：2011年奥林匹克初中数学训练题 题型：解答题

    (25分)已知G是△ABC内任一点，BG、CG分别交AC、AB于点E、F.
    求使不等式S△BGF·S△CGE≤kS2△ABC恒成立的k的最小值.

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