Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于D、E两点．
（1）如果一个二次函数图象经过B、C、D三点，求这个二次函数的解析式；
（2）设点P的坐标为（m，0）（m＞5），过点P作PQ⊥x轴交（1）中的抛物线于点Q，当以O、C、D为顶点的三角形与△PCQ相似时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用垂径定理求得线段OB和OC的长，从而求得B、C两点的坐标，利用待定系数法求得二次函数的解析式即可；
（2）作出图形利用相似三角形的对应边成比例列出有关未知数m的方程求解即可．

解答：解：（1）连接AC，
∵以点A（0，-3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于D、E两点．
∴AC=5、AO=3，
∴由勾股定理得：OC=OB=4
∴点B的坐标为（-4，0），点C的坐标为（4，0），点D的坐标为（0，2）．
∵对称轴为y轴，
∴设二次函数的解析式为y=ax²+c
∴

16a+c=0 c=2

解得：

a=- 1 8 c=2

∴经过B、C、D三点的二次函数的解析式为y=-

1

8

x2+2；
（2）∵P的坐标为（m，0）（m＞5），
∴Q点的坐标为（m，-

1

8

m²+2）
∴PC=m-4 PQ=

1

8

m²-2，
∵以O、C、D为顶点的三角形与△PCQ相似，
①当△ODC∽△PCQ时，
∴

PC

OD

=

PQ

OC

即：

m-4

2

=

1 8 m2-2

4

解得：m=12或m=4（因m＞5，故舍去）
②当△OCD∽△PCQ时，
∴

PC

OC

=

PQ

OD

即：

m-2

4

=

1 8 m2-2

2

解得：m=12或4（因m＞5，故舍去）
∴P点的坐标为：（12，0）．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定及垂径定理的应用．主要考查学生数形结合的数学思想方法．