Question

直线y=

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x+6和x轴，y轴分别交于点E，F，点A是线段EF上一动点（不与点E重合），过点A作x轴垂线，垂足是点B，以AB为边向右作矩形ABCD，AB：BC=3：4．
（1）当点A与点F重合时（图1），求证：四边形ADBE是平行四边形，并求直线DE的表达式；
（2）当点A不与点F重合时（图2），四边形ADBE仍然是平行四边形？说明理由，此时你还能求出直线DE的表达式吗？若能，请你出来．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：对于直线y=

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x+6，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出E与F坐标，
（1）当A与F重合时，根据F坐标确定出A坐标，进而确定出AB的长，由AB与BC的比值求出BC的长，确定出AD=BE，而AD与BE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形AEBD为平行四边形；根据AB与BC的长确定出D坐标，设直线DE解析式为y=kx+b，将D与E坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线DE解析式；
（2）当点A不与点F重合时，四边形ADBE仍然是平行四边形，理由为：根据直线y=

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x+6解析式设出A坐标，进而表示出AB的长，根据A与B横坐标相同确定出B坐标，进而表示出EB的长，发现EB=AD，而EB与AD平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形AEBD为平行四边形；根据BC的长求出OC的长，表示出D坐标，设直线DE解析式为y=k₁x+b₁，将D与E坐标代入求出k₁与b₁的值，即可确定出直线DE解析式．

解答：解：对于直线y=

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x+6，
令x=0，得到y=6；令y=0，得到x=-8，即E（-8，0），F（0，6），
（1）当点A与点F重合时，A（0，6），即AB=6，
∵AB：BC=3：4，
∴BC=8，
∴AD=BE=8，
又∵AD∥BE，
∴四边形ADBE是平行四边形；
∴D（8，6），
设直线DE解析式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0），
将D（8，6），E（-8，0）代入得：

8k+b=6 -8k+b=0

，
解得：b=3，k=

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．
则直线DE解析式为y=

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x+3；
（2）四边形ADBE仍然是平行四边形，理由为：
设点A（m，

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m+6）即AB=

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m+6，OB=-m，即B（m，0），
∴BE=m+8，
又∵AB：BC=3：4，
∴BC=m+8，
∴AD=m+8，
∴BE=AD，
又∵BE∥AD，
∴四边形ADBE仍然是平行四边形；
又∵BC=m+8，
∴OC=2m+8，
∴D（2m+8，

3

4

m+6），
设直线DE解析式为y=k₁x+b₁（k₁、b₁为常数且k₁≠0），
将D与E坐标代入得：

3 4 m+6=(2m+8)k1+b1 0=-8k1+b1

，
解得：k₁=

3

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，b₁=3，
则直线DE解析式为y=

3

8

x+3．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，平行四边形的判定，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．