【题目】如图1,在△ABC中,AB=BC=5,AC=6,△ABC沿BC方向向右平移得△DCE,A、C对应点分别是D、E.AC与BD相交于点O.
(1)将射线BD绕B点顺时针旋转,且与DC,DE分别相交于F,G,CH∥BG交DE于H,当DF=CF时,求DG的长;
(2)如图2,将直线BD绕点O逆时针旋转,与线段AD,BC分别相交于点Q,P.设OQ=x,四边形ABPQ的周长为y,求y与x之间的函数关系式,并求y的最小值.
(3)在(2)中PQ的旋转过程中,△AOQ是否构成等腰三角形?若能构成等腰三角形,求出此时PQ的长?若不能,请说明理由.
【答案】(1)2;(2)y=2x+10(≤x≤4),当x=时,y有最小值,最小值为;(3)能,满足条件的PQ的值为:或5或6.
【解析】
(1)证明DG=GH=EH即可解决问题.
(2)如图2中,作AH⊥BC于H.解直角三角形求出AH,可得OQ的最小值,证明△AOQ≌△COP(ASA),推出AQ=PC,推出y=AQ+AB+BP+PC+PQ=AB+BC+PQ=10+2x(≤x≤4).根据一次函数的性质求出最值即可.
(3)分三种情形:①当AQ=AO=3时,作OH⊥AD于H.②当点Q是AD的中点时.③当OA=OQ=3时,分别求解即可.
解:(1)如图中,
∵DF=FC,CH∥FG,
∴DG=GH,
∵BC=CE,CH∥BG,
∴GH=HE,
∴DG=GH=HE,
∴DG=DE=AC=2.
(2)如图2中,作AH⊥BC于H.
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴OA=OC=3,OB=OD==4,
∴,
∴AH=,
∵AQ∥PC,
∴∠QAO=∠PCO,
∵OA=OC,∠AOQ=∠COP,
∴△AOQ≌△COP(ASA),
∴AQ=PC,
∴y=AQ+AB+BP+PC+PQ=AB+BC+PQ=10+2x(≤x≤4).
∴y=2x+10(≤x≤4).
当x=时,y有最小值,最小值为.
(3)能;
如图3中,
分三种情形:①当AQ=AO=3时,作OH⊥AD于H.
易知OH=,
∴AH==,
∴HQ=,
∴OQ=,
∴PQ=2OQ=.
②当点Q是AD的中点时,AQ=OQ=DQ=,
∴PQ=2OQ=5.
③当OA=OQ=3时,PQ=2OQ=6.
综上所述,满足条件的PQ的值为:或5或6.
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【题目】已知,直线AB与直线CD相交于O,OB平分∠DOF.
(1)如图,若∠BOF=40°,求∠AOC的度数;
(2)作射线OE,使得∠COE=60°,若∠BOF=x°(),求∠AOE的度数(用含x的代数式表示).
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【题目】如图,等边△ABC的边长为6,点O是三边垂直平分线的交点,∠FOG=120°,∠FOG的两边OF,OG分别交AB,BC与点D,E,∠FOG绕点O顺时针旋转时,下列四个结论正确的是( )
①OD=OE;②;③;④△BDE的周长最小值为9,
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】某工厂制作甲、乙两种窗户边框,已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个,且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用的材料.
(1)求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料?
(2)如果制作甲、乙两种边框的材料共640米,要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍,求应最多安排制作甲种边框多少个(不计材料损耗)?
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【题目】如图,将3个同样的正方体重叠放置在桌面上,每个正方体的6个面上分别写有-3、-2、-1、1、2、3,相对的两面上写的数字互为相反数,现在有5个面的数字无论从哪个角度都看不到,这5个看不到的面上数字的乘积是________.
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【题目】如图,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,点E是AB边的中点,图中已有三角形与△ADE面积相等的三角形(不包括△ADE)共有( )个.
A.3B.4C.5D.6
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【题目】如图,已知抛物线与y轴交于点,与x轴交于点,点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.
求这条抛物线的表达式及其顶点坐标;
当点P移动到抛物线的什么位置时,使得,求出此时点P的坐标;
当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动,在移动中,点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动;与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动,点P,M移动到各自终点时停止当两个动点移动t秒时,求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式,并求t为何值时,S有最大值,最大值是多少?
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【题目】已知平面直角坐标系如图,直线的经过点和点.
求m、n的值;
如果抛物线经过点A、B,该抛物线的顶点为点P,求的值;
设点Q在直线上,且在第一象限内,直线与y轴的交点为点D,如果,求点Q的坐标.
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