Question

19．如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，垂足为点O，过点A作射线AE∥BC，点P是边BC上任意一点（可与B、C重合），连接PO并延长与射线AE相交于点Q，过点Q作直线BC的垂线，垂足为R．设B，P两点之间的距离为x，当x=$\frac{14}{5}$时，△PQR∽△ABO成立．

Answer 1

分析 易证△AOB≌△COB，若△PQR与△CBO相似，则△PQR∽△ABO，过点O作OH⊥BC于H，则∠QPR=∠BCO，故OP=OC=6，过点O作OH⊥BC于H，由射影定理得CO²=CH•CB，可求得CH=$\frac{1}{2}$CP，进而可求出BP的值问题得解．

解答 解：∵AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，
∴AO=CO，
∵BO=BO，
在△AOB和△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{AO=CO}\\{BO=BO}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△COB（SSS）；
∴△PQR∽△ABO，
∴∠QPR=∠BCO，
∴OP=OC=6，
过点O作OH⊥BC于H，
由射影定理得CO²=CH•CB，
即CH=$\frac{1}{2}$CP=3.6，
∴CP=7.2，
∴BP=x=2.8
∴x=$\frac{14}{5}$时，△PQR∽△ABO成立．
故答案为$\frac{14}{5}$．

点评 此题主要考查了四边形综合题，涉信相似三角形的判定以及平行四边形的性质和全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用相关知识．