精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图,已知矩形ABCD中AB:BC=3:1,点A、B在x轴上,直线y=mx+n(m<n<
1
2
且n≠0),过点A、C交y轴于点E,S△AOE=
9
8
S矩形ABCD,抛精英家教网物线y=ax2+bx+c过点A、B,且顶点G在直线y=mx+n上,抛物线与y轴交于点F.
(1)求点A、B的坐标(用n表示);
(2)求代数式abc的值;
(3)求S△AGF的范围.
分析:(1)根据直线AE的解析式可得到点E的坐标,已知AB=3BC,即AO=3OE,由此可求得点A的坐标;易求得△AOE的面积,即可得到矩形ABCD的面积,由于AB=3BC,可用AB表示出矩形ABCD的面积,进而可得到AB的值(含n的表达式),由此可确定点B的坐标.
(2)由于点G是抛物线的顶点,即在抛物线的对称轴上,根据A、B的坐标,可求得点G的横坐标,而G点在直线AE上,那么G点的纵坐标应该是AB的
1
6
(由于AB=3BC=6yG),由此可确定点G的坐标;可将抛物线设为顶点坐标式,将A或B的坐标代入其中,即可求出含n的抛物线解析式,进而可求出abc的值.
(3)△AGF的面积无法直接求出,分析图形后可知△AGF的面积为△AEF、△EGF的面积差,这两个三角形的顶点的坐标都已求出,即可得到△AGF的面积表达式(含n的式子),根据已知的n的取值范围,即可求得△AGF的面积范围.
解答:解:(1)直线AE中,y=mx+n,则E(0,n);
∵AB=3BC,则tan∠CAB=
1
3

∴OA=3OE=3n,即A(-3n,0);
△AOE中,AO=3n,OE=n,则S△AOE=
1
2
OA•OE=
3n2
2

矩形ABCD中,AB=3BC,则S矩形ABCD=AB•BC=
1
3
AB2
∵S△AOE=
9
8
S矩形ABCD
3
2
n2=
9
8
×
1
3
AB2,即AB=2n,
故OB=OA-AB=n,即B(-n,0);
∴A(-3n,0),B(-n,0).

(2)∵G是抛物线的顶点,且A(-3n,0),B(-n,0),
∴G点的横坐标为-2n;
易知G是线段AC的中点,故AB=3BC=6yG
∴G点的纵坐标为
1
3
n;
即G(-2n,
1
3
n);
设抛物线的解析式为y=a(x+2n)2+
1
3
n,将A(-3n,0)代入上式,得:
a×n2+
1
3
n=0,即a=-
1
3n

∴y=-
1
3n
(x+2n)2+
1
3
n=-
1
3n
x2-
4
3
x-n;
故abc=(-
1
3n
)×(-
4
3
)×(-n)=-
4
9


(3)根据(2)得到的抛物线解析式,易知F(0,-n);
∵E(0,n),A(-3n,0),G(-2n,
1
3
n),n≠0,
∴S△AEF=
1
2
EF•OA=3n2,S△EGF=
1
2
EF•|xG|=2n2
∴S△AGF=S△AEF-S△EGF=3n2-2n2=n2
故S△AGF的范围为:
1
9
<S△AGF
1
4
点评:此题是二次函数的综合题,涉及到函数图象与坐标轴交点坐标的求法、函数解析式的确定、图形面积的求法等重要知识,由于本题中大部分数据都是字母,乍看之下无从下手,但是只要将字母当做已知数来对待,即可按照常规思路解决问题.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知矩形DEFG内接于Rt△ABC,D在AB上,E、F在BC上,G在AC上,∠BAC=90°,AB=6cm,AC=8cm,S矩形DEFG=
454
,则矩形的边长DG=
 

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点M沿AB方向从A向B以2cm/秒的速度移动,点N从D沿DA方向以1c精英家教网m/秒的速度移动,如果M、N两点同时出发,移动的时间为x秒(0≤x≤6).
(1)当x为何值时,△MAN为等腰直角三角形?
(2)当x为何值时,有△MAN∽△ABC?
(3)爱动脑筋的小红同学在完成了以上联系后,对该问题作了深入的研究,她认为:在M、N的移动过程中(N不与D、A重合,M不与A、B重合),以A、M、C、N为顶点的四边形面积是一个常数.她的这种想法对吗?请说出理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知正三角形ABC的边长AB是480毫米.一质点D从点B出发,沿BA方向,以每秒钟10毫米的速度向精英家教网点A运动.
(1)建立合适的直角坐标系,用运动时间t(秒)表示点D的坐标;
(2)过点D在三角形ABC的内部作一个矩形DEFG,其中EF在BC边上,G在AC边上.在图中找出点D,使矩形DEFG是正方形(要求所表达的方式能体现出找点D的过程);
(3)过点D、B、C作平行四边形,当t为何值时,由点C、B、D、F组成的平行四边形的面积等于三角形ADC的面积,并求此时点F的坐标.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•宁德质检)如图,已知Rt△ABC,∠B=90°,AB=8,BC=6,把斜边AC平均分成n段,以每段为对角线作边与AB、BC平行的小矩形,则这些小矩形的面积和是(  )

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知矩形ABCD中AB:BC=3:1,点A、B在x轴上,直线y=mx+n(0<m<n<
1
2
),过点A、C交y轴于点E,S△AOE=
9
8
S矩形ABCD,抛物线y=ax2+bx+c过点A、B,且顶点G在直线y=mx+n上,抛物线与y轴交于点F.
(1)点A的坐标为
(-3n,0)
(-3n,0)
;B的坐标
(-n,0)
(-n,0)
(用n表示);
(2)abc=
-
4
9
-
4
9

查看答案和解析>>

同步练习册答案