Question

如图，已知线段AB=2a（a＞0），M是AB的中点，直线l₁⊥AB于点A，直线l₂⊥AB于点M，点P是l₁左侧一点，P到l₁的距离为b（a＜b＜2a）．
（1）作出点P关于l₁的对称点P₁，并在PP₁上取一点P₂，使点P₂、P₁关于l₂对称；
（2）PP₂与AB有何位置关系和数量关系，请说明理由．

Answer 1

分析：P，P₁关于l₁对称，那么PP₁⊥l₁，ab⊥l₁，那么PP₁∥AB，即PP₂∥AB．∵∠O₁O₂M=∠O₂MA=∠O₁AM=∠AO₁O₂=90°，四边形O₁O₂MA是矩形，那么AM=O₁O₂=

1

2

AB=a，P，P₁关于l₁对称，P，P₂关于l₂对称，那么PO₁=O₁O₁=b，然后用a，b分别表示出P₂O₁，再得出PP₂是多少，然后再判定PP₂和AB的大小关系．

解答：解：（1）如图；

（2）PP₂与AB平行且相等．
证明：设PP₁分别交l₁、l₂于点O₁、O₂，
∵P、P₁关于l₁对称，点P₂在PP₁上，
∴PP₂⊥l₁
又∵AB⊥l₁
∴PP₂∥AB
∵l₁⊥AB，l₂⊥AB
∴l₁∥l₂
∴四边形O₁AMO₂是矩形
∴O₁O₂=AM=a
∴P、P₁关于l₁对称，P₁O₁=PO₁=b
∵P₁、P₂关于l₂对称
∴P₂O₂=P₁O₂=P₁O₁-O₁O₂=b-a
∴PP₂=PP₁-P₁P₂=PP₁-2P₂O₂=2b-2（b-a）=2a
∴PP₂

∥

.

AB．

点评：本题主要考查了轴对称及矩形的判定等知识点，其中判定四边形O₁O₂MA是矩形是本题的解题关键．