Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，延长DF交AN于点E．

（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；

（2）问：线段CE与线段AD有什么关系？请说明你的理由；

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形?请说明你的理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）CE∥AD，CE=AD；（3）答案不唯一，如∠BAC=90°．

【解析】

（1）由等腰三角形的性质和中位线的性质可证明：AB∥DE，再利用等腰三角形的性质和角平分线的定义证明AE∥BD，进而证明四边形ABDE的形状为平行四边形；

（2）CE∥AD，CE=AD；证明四边形ADCE为平行四边形即可；

（3）能使得矩形的邻边AD和DC相等的条件均可．

（1）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：

∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，

∴DF∥AB．

∵AB=AC，D是BC中点，

∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC．

∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，

∴∠MAE=∠CAE，∴∠NAD=90°，

∴AE∥BD，

∴四边形ABDE是平行四边形；

（2）CE∥AD，CE=AD．理由如下：

由（1）得：AE∥DC，AE=BD．

∵AB=AC，点D为BC中点，

∴BD=DC，

∴AE=DC．

∵AE∥DC，

∴四边形ADCE为平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），

∴CE∥AD，CE=AD．

（3）答案不唯一，如当∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形．理由如下：

由（1）得：AD⊥BC，

∴∠ADC=90°．

∵四边形ADCE为平行四边形，

∴四边形ADCE为矩形．

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴△ABC为等腰直角三角形．

∵D为BC的中点，

∴AD=BD=DC，

∴矩形ADCE为正方形．