如图1.△ABC为边长为6的等边三角形.点D为AB边上的点.且AD=2BD,过D作DE∥BC交AC边于E,AH⊥BC于H.AH交于DE于点O．(1)求梯形BDEC的面积,(2)将图1中的△ADE以每秒1个单位长度的速度沿直线AH从上往下平移.直到点A与点H重合为止.设运动时间为t秒.△ADE与四边形BDEC重叠部分的面积为S.请求出S与t的函数关系.并写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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2．如图1，△ABC为边长为6的等边三角形，点D为AB边上的点，且AD=2BD；过D作DE∥BC交AC边于E；AH⊥BC于H，AH交于DE于点O．
（1）求梯形BDEC的面积；
（2）将图1中的△ADE以每秒1个单位长度的速度沿直线AH从上往下平移，直到点A与点H重合为止，设运动时间为t秒，△ADE与四边形BDEC重叠部分的面积为S，请求出S与t的函数关系，并写出相应的t的取值范围；
（3）将图1中的△ADE沿直线DE向下翻折得△A′DE，连接CO：将△A′DE绕点O旋转，设直线A′O与直线BC相交于点P．问：是否存在这样的时刻，使得△CPO为等腰三角形？若存在，直接写出△A′DE绕点O旋转的方向（顺时针或逆时针）以及对应的旋转角度α的大小（0°＜α＜180°）；若不存在，请说明理由．

分析（1）由等腰三角形的性质得到三角形的高，再根据三角形相似得到比例式求出梯形的高，代入梯形的面积公式计算即可；
（2）分三种情况讨论，根据三角形相似，计算出相应图形的底和高，代入相应图形的面积公式即可得到结果；
（3）当△ADE绕点O①顺时针旋转15°，②顺时针旋转60°，③逆时针旋转30°，④逆时针旋转75°时，△CPQ为等腰三角形．

解答解：（1）∵△ABC为边长为6的等边三角形，
∴AH=3$\sqrt{3}$，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$=$\frac{AO}{AH}$，
∵AD=2BD，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$=$\frac{AO}{AH}$=$\frac{2}{3}$，
∴$DE=4，AO=2\sqrt{3}$，
∴OH=$\sqrt{3}$，
S_梯形BCED=$\frac{1}{2}$（4+6）$•\sqrt{3}$=5$\sqrt{3}$；

（2）①当0＜t≤$\sqrt{3}$时，如图1，
由题意得；D′E′=DE=4，A′O′=2$\sqrt{3}$，AA′=t，
∵PQ∥D′E′，
∴△A′PQ∽△A′D′E′，
∴$\frac{PQ}{D′E′}=\frac{A′O}{A′O′}$，
∴PQ=$\frac{4\sqrt{3}-2t}{\sqrt{3}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$（$\frac{4\sqrt{3}-2t}{\sqrt{3}}$+4）•t=-${\frac{\sqrt{3}}{3}t}^{2}$+4t，（0＜t≤$\sqrt{3}$）；
②当$\sqrt{3}$＜t$≤2\sqrt{3}$时，如图2，
由①知：MN=$\frac{4\sqrt{3}-2t}{\sqrt{3}}$，
由△A′D′E′∽△ABC，
∴$\frac{PQ}{BC}$=$\frac{A′H}{AH}$，
∴PQ=$\frac{6\sqrt{3}-2t}{\sqrt{3}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$（$\frac{4\sqrt{3}-2t}{\sqrt{3}}$+$\frac{6\sqrt{3}-2t}{\sqrt{3}}$）$•\sqrt{3}$=-2t+5$\sqrt{3}$，（$\sqrt{3}＜t≤2\sqrt{3}$）；
③当2$\sqrt{3}$＜t≤3$\sqrt{3}$时，如图3，
由②知PQ=$\frac{6\sqrt{3}-2t}{\sqrt{3}}$，A′H=3$\sqrt{3}$-t，
∴S=$\frac{1}{2}$•$\frac{6\sqrt{3}-2t}{\sqrt{3}}$•（3$\sqrt{3}$-t）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²-6t+9$\sqrt{3}$，（2$\sqrt{3}$＜t$≤3\sqrt{3}$），
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{-{\frac{\sqrt{3}t}{3}}^{2}+4t（0＜t≤\sqrt{3}）}\\{-2t+5\sqrt{3}（\sqrt{3}＜t≤2\sqrt{3}）}\\{-{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{t2}-6t+9\sqrt{3}（2\sqrt{3}＜t≤3\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，

（3）∵∠OCB=30°，∴∠OCA′=60°，
当OC=PC时，∠POC=∠OPC=75°，
∴∠POA′=15°，
∴△ADE绕点O顺时针旋转15°时，△CPQ为等腰三角形；
当OP=PC时，∠NOC=OCP=30°，
∴∠POC=30°，
∴当△ADE绕点O，逆时针旋转30°时，△CPQ为等腰三角形；
当OC=OP，∠OPC=∠OCP-30°，
∴∠POC=120°，
∴∠POA′=60°，
∴当△ADE绕点O，顺时针旋转60°时，△CPQ为等腰三角形；
当OC=CP，∠COP=∠CPO=15°，
∴∠A′OP=75°，
∴当△ADE绕点O，逆时针旋转75°时，△CPQ为等腰三角形．
∴当△ADE绕点O顺时针旋转15°，或顺时针旋转60°，或逆时针旋转30°，或逆时针旋转75°时，△CPQ为等腰三角形．

点评本题考查了图形的变换-平移，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，注意分类讨论是解题的关键．

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