Question

计算：
（1）

x2

x-1

-x+1；
（2）(

y3

2x2

)3÷(-

y2

4x

)2；
（3）观察下列等式1×

1

2

=1-

1

2

2×

2

3

=2-

2

3

3×

3

4

=3-

3

4

，
①写出第5个等式，
②猜想并写出第n个等式；
（4）

.

a b c d

.

称为二阶行列式，运算为

.

a b c d

.

=ad-bc，请根据上述规定，求下列等式中的x的值

.

4 x+1 1 x-1 1 x2-1

.

=-1．

Answer 1

分析：（1）首先把-x+1变为-

(x-1)2

x-1

，然后利用同分母的分式的加减法则即可求出结果；
（2）首先利用商的幂的法则化简，然后利用分式的乘、除法法则计算即可求出结果；
（3）①首先观察结果等式的规律，分母的数字比第一个数字多1，左边是乘法，右边是减法，由此即可写出第五个等式；
②根据规律只要把数字换为n即可；
（4）这是一个定义新运算，根据定义的新运算可以得到关于x的方程，解方程即可加减问题．

解答：解：（1）

x2

x-1

-x+1=

x2

x-1

-

(x-1)2

x-1

=

x2-x2+2x-1

x-1

=

2x-1

x-1

；

（2）(

y3

2x2

)3÷(-

y2

4x

)2=

y9

8x6

×

16x2

y4

=

2y5

x4

；

（3）∵1×

1

2

=1-

1

2

，2×

2

3

=2-

2

3

，3×

3

4

=3-

3

4

，
∴第五个等式为5×

5

6

=5-

5

6

，
第n个等式为n×

n

n+1

=n-

n

n+1

；

（4）∵

.

4 x+1 1 x-1 1 x2-1

.

=-1，
依题意得

4

x2-1

-

x+1

x-1

=-1，
解之得x=1，
当x=1时，分母为0，不合题意，舍去．
∴x的值不存在．

点评：分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒．