Question

如图所示，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D，且PD与⊙O相切．
（1）求证：AB=AC；
（2）若BC=6，AB=4，求CD的值．

Answer 1

分析：（1）连接OP，根据切线的性质可知OP⊥PD，可求出OP∥AC，根据三角形中位线定理可知，OP=

1

2

AC，由于OP=

1

2

AB即可解答．
（2）连接AP，可得出Rt△CDP∽Rt△CPA，进而根据相似三角形的性质解答即可．

解答：（1）证明：连接OP，
∵PD与⊙O相切，
∴OP⊥PD，
∵AC⊥PD，
∴OP∥AC，
∵OP=0A=OB=

1

2

AB，
∴OP是△ABC的中位线，∴OP=

1

2

AC，
∴AC=AB．

（2）解：连接AP，
∵AB为直径，
∴AP⊥BC；
由（1）知，AC=AB=4，
∴PC=PB；
又∵BC=6，
∴PC=3；
在Rt△CDP与Rt△CPA中，∠C=∠C，
∴Rt△CDP∽Rt△CPA，
∴

PC

AC

=

CD

PC

，
∵BC=6，AB=4，
∴

3

4

=

CD

3

，
CD=

9

4

．

点评：此题比较复杂，解答此题的关键是连接OP、AP，综合利用切线、相似三角形、等腰三角形等知识来求解．