Question

20．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C为坐标轴上的三点，且OA=OB=OC=4，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴于点G，△ABD的面积为8．过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E．
（1）求D点的坐标；
（2）求证：OF=OG；
（3）在第一象限内是否存在点P，使得△CFP为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到AB=8，B（4，0），C（0，4），待定系数法求得BC的解析式为y=-x+4，根据三角形的面积得到DH=2，即可得到结论；
（2）根据已知条件得到△AGO～△CGE，由相似三角形的性质得到∠GAO=∠GCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）根据直线AD的解析式y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$，求得OF=OG=$\frac{4}{3}$，①如图2，当∠CFP=90°，FP=FC时，过P作PH⊥x轴于H，根据全等三角形的性质得到PH=OF=$\frac{4}{3}$，FH=OC=4，于是得到P₁（$\frac{16}{3}$，$\frac{4}{3}$）；②如图3，当∠PCF=90°，CP=FC时，根据全等三角形的性质得到PH=OC=4，CH=OF=$\frac{4}{3}$，于是得到P₂（4，$\frac{16}{3}$）；③如图4，当∠CPF=90°，PC=PF时，根据全等三角形的性质得到PN=PM，CN=FM，根据ON=OM，列方程得到CN=CM=$\frac{4}{3}$，于是得到P₃（$\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$）．

解答 解：（1）如图1，作DH⊥x轴于H，
∵OA=OB=OC=4，
∴AB=8，B（4，0），C（0，4），
设BC的解析式为y=kx+b，
把B，C两点代入得$\left\{\begin{array}{l}{0=4k+b}\\{4=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴BC的解析式为y=-x+4，
∵△ABD的面积为8，AB=8，
∴DH=2，
所以D点的纵坐标为2，
把y=2代入y=-x+4得：x=2，
∴D（2，2）；

（2）∵CE⊥AD，
∴∠CEG=∠AOG=90°，
又∵∠AGO=∠CGE，
∴△AGO～△CGE，
∴∠GAO=∠GCE，
在△COF与△AOG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OCF=∠OAG}\\{OC=OA}\\{∠COF=∠AOG}\end{array}\right.$，
∴△COF≌△AOG，
∴OF=OG；

（3）存在，∵A（-4，0），D（2，2），
∴直线AD的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
∴OG=$\frac{4}{3}$，
∴OF=OG=$\frac{4}{3}$，
①如图2，当∠CFP=90°，FP=FC时，
过P作PH⊥x轴于H，
∴∠PHF=∠COF=90°，
∴∠OCF+∠OFC=∠OFC+∠PFH=90°，∴∠OCF=∠PFH，
在△COF与△PFH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OCF=∠PFH}\\{∠COF=∠PHF}\\{CF=PF}\end{array}\right.$，∴△COF≌△PFH，∴PH=OF=$\frac{4}{3}$，FH=OC=4，
∴OH=$\frac{16}{3}$，
∴P₁（$\frac{16}{3}$，$\frac{4}{3}$）；
②如图3，当∠PCF=90°，CP=FC时，同理证得△PHC≌△CFO，
∴PH=OC=4，CH=OF=$\frac{4}{3}$，
∴OH=$\frac{16}{3}$，
∴P₂（4，$\frac{16}{3}$）；
③如图4，当∠CPF=90°，PC=PF时，
过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴四边形PNOM是矩形，
∴∠NPM=90°，
∴∠CPN+∠NPF=∠NPF+∠FPM=90°，
∴∠CPN=∠FPM，
在△CPN与△FPM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CPN=∠FPM}\\{∠PNC=∠PMF=90°}\\{PC=PF}\end{array}\right.$，
∴△PNC≌△PMF，
∴PN=PM，CN=FM，
∴矩形PNOM是正方形，
∴ON=OM，
∴4-CN=$\frac{4}{3}$+CN，
∴CN=CM=$\frac{4}{3}$，
∴PN=PM=$\frac{8}{3}$，
∴P₃（$\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$），
综上所述：P的坐标为（$\frac{16}{3}$，$\frac{4}{3}$），（4，$\frac{16}{3}$），（$\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，矩形和正方形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．