Question

9．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，求：∠BCD的度数．

Answer 1

分析 连结BC，如图，根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用互余可计算出∠B=70°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠D=180°-∠B=110°，接着根据圆周角定理和三角形内角和定理，由弧AD=弧CD得到∠DAC=∠DCA=35°，然后得到∠DCB=∠DCA+∠ACB=125°．

解答 解：连结BC，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=70°，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠D=180°-∠B=110°，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠DAC=∠DCA=$\frac{1}{2}$（180°-110°）=35°，
∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=125°．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．