Question

11．如图，AB为⊙O直径，PA切⊙O于A，PCD为⊙O一条割线，PO交BD于E，证明：AC⊥AE．

Answer 1

分析 连接BC交PE于F，连接AF，过C作CH∥PE分别交AB，BD于G，H，过O作OM⊥PD于M，连接GM，AM，根据切线的性质得到AB⊥AP，推出P，O，M，A四点共圆，根据圆周角定理得到∠EPD=∠OAM，根据平行线的性质得到∠HCD=∠EPD，于是得到∠GOM=∠GAM，推出G，CA，M四点共圆，根据圆周角定理得到∠CMG=∠CAB，等量代换得到∠CMG=∠CDB，根据平行线的判定定理得到GM∥BD，推出四边形AEBF是平行四边形，根据平行线的性质即可得到结论．

解答 证明：连接BC交PE于F，连接AF，过C作CH∥PE分别交AB，BD于G，H，过O作OM⊥PD于M，连接GM，AM，
∵AB为⊙O直径，PA切⊙O于A，
∴AB⊥AP，
∵OM⊥PD，
∴P，O，M，A四点共圆，
∴∠EPD=∠OAM，
∵CH∥PE，
∴∠HCD=∠EPD，
∴∠HCD=∠OAM，
即∠GOM=∠GAM，
∴G，C，A，M四点共圆，
∴∠CMG=∠CAB，
∵∠CAB=∠CDB，
∴∠CMG=∠CDB，
∴GM∥BD，
∵OM⊥PD，
∴CM=DM，
∴CG=HG，
∵CH∥PE，
∴FO=EO，
∵AO=BO，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∴BC∥AE，
∴∠BCA+∠CAE=180°，
∵∠BCA=90°，
∴∠CAE=90°，
∴AC⊥AE．

点评 本题考查了切线的性质，四点共圆，圆周角定理，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．