分析 (1)根据旋转变换的性质和全等三角形的判定定理证明△CAF≌△BAD,证明结论;
(2)①根据全等三角形的性质、垂直的定义证明即可;
②连接DF,延长AB交DF于M,根据题意和等腰直角三角形的性质求出DM、BM的长,根据勾股定理求出BD的长,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可得到答案.
解答 解:(1)BD=CF.
理由如下:由题意得,∠CAF=∠BAD=θ,
在△CAF和△BAD中,
$\left\{\begin{array}{l}{CA=BA}\\{∠CAF=∠BAD}\\{FA=DA}\end{array}\right.$,
∴△CAF≌△BAD,
∴BD=CF;
(2)①由(1)得△CAF≌△BAD,
∴∠CFA=∠BDA,
∵∠FNH=∠DNA,∠DNA+∠NDA=90°,
∴∠CFA+∠FNH=90°,
∴∠FHN=90°,即BD⊥CF;
②连接DF,延长AB交DF于M,
∵四边形ADEF是正方形,AD=3$\sqrt{2}$,AB=2,
∴AM=DM=3,BM=AM-AB=1,
∵△ABC绕点A逆时针旋转45°,
∴∠BAD=45°,
∴AM⊥DF,
∴DB=$\sqrt{D{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$,
∵∠MAD=∠MDA=45°,
∴∠AMD=90°,又∠DHF=90°,∠MDB=∠HDF,
∴△DMB∽△DHF,
∴$\frac{DM}{DH}$=$\frac{DB}{DF}$,即$\frac{3}{DH}$=$\frac{\sqrt{10}}{6}$,
解得,DH=$\frac{9\sqrt{10}}{5}$.
点评 本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转变换的性质以及相似三角形的判定和性质,掌握旋转角的定义和旋转变换的性质、正确作出辅助线是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-1,2) | B. | (-9,18) | C. | (-9,18)或(9,-18) | D. | (-1,2)或(1,-2) |
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