Question

【题目】（1） 如图1所示，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，试说明：∠D=90°+∠A．

（2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由：

①如图2所示，BD，CD分别是△ABC两个外角∠EBC和∠FCB的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系；

②如图3所示，BD，CD分别是△ABC一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①∠A=180°2∠D，理由见解析；②∠A=2∠D，理由见解析

【解析】

（1）首先利用角平分线性质得出∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，再利用三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°以及∠DBC+∠DCB+∠D=180°，据此进一步加以变形求证即可；

（2）①首先理由角平分线性质得出∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，然后再利用三角形内角和性质进一步整理得出∠A2(∠DBC+∠DCB)=-180°，据此进一步加以分析证明即可；②利用三角形外角性质可知∠DCE=∠DBC+∠D，然后再利用角平分线性质得出2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，最后再结合∠A+∠ABC=∠ACE进一步证明即可.

（1）∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，

∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°∠A，

又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，

∴∠D=180°(∠DBC+∠DCB)

=180°(∠ABC+∠ACB)

=180°(180°∠A)

=180°90°+∠A

=90°+∠A，

即：∠D=90°+∠A；

（2）①∠A=180°2∠D，理由如下：

∵BD，CD分别是∠EBC和∠FCB的平分线，

∴∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠ABC=180°(∠A+∠ACB)=180°2∠DBC，

∠ACB=180°(∠A+∠ABC)=180°2∠DCB，

∴∠A+180°2∠DBC+180°2∠DCB=180°，

∴∠A2(∠DBC+∠DCB)=180°，

又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，

∴∠DBC+∠DCB=180°∠D，

∴∠A2(∠DBC+∠DCB)=∠A2(180°∠D)=180°，

即：∠A360°+2∠D=180°，

∴2∠D=180°∠A，

即：∠A=180°2∠D；

②∠A=2∠D，理由如下：

∵∠DCE是△ABC的一个外角，

∴∠DCE=∠DBC+∠D，

∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，

∴2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，

∵∠A+∠ABC=∠ACE，

∴∠A+2∠DBC=2∠DCE，

∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D，

∴∠A=2∠D.