Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于 ．

Answer 1

【答案】7
【解析】解：∵在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，
∴AE=AB﹣BE=4﹣1=3，
CH=CD﹣DH=4﹣1=3，
∴AE=CH，
在△AEF与△CGH中， ，
∴△AEF≌△CGH（SAS），
∴EF=GH，
同理可得，△BGE≌△DFH，
∴EG=FH，
∴四边形EGHF是平行四边形，
∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，
∴△PEF和△PGH的面积和= ×平行四边形EGHF的面积，
平行四边形EGHF的面积
=4×6﹣ ×2×3﹣ ×1×（6﹣2）﹣ ×2×3﹣ ×1×（6﹣2），
=24﹣3﹣2﹣3﹣2，
=14，
∴△PEF和△PGH的面积和= ×14=7．
故答案为：7．

连接EG，FH，根据题目数据可以证明△AEF与△CGH全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GH，同理可得EG=FH，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形EGHF是平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和等于平行四边形EGHF的面积的一半，再利用平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD的面积减去四周四个小直角三角形的面积即可求解．