Question

已知AB∥CD，分别探讨四个图形中∠APC，∠PB，∠PCD的关系．

（1）请说明图①、②中三个角的关系，并且加以证明；
（2）猜想图③、④中三个角的关系，并任意选择其中的一个说明理由．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：①首先过点P作PQ∥AB，又由AB∥CD，可得PQ∥AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠PBA+∠1=180°，∠2+∠PCD=180°，则可得∠APC+∠PAB+∠PCD=∠PBA+∠1+∠2+∠PCD=360°；
②首先过点P作PQ∥AB，又由AB∥CD，可得PQ∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，则可得∠APC=∠PAB+∠PCD；
③由AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，即可得∠1=∠PCD，然后由三角形外角的性质，即可求得∠PCD=∠PAB+∠APC；
④由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1=∠PAB，然后由三角形外角的性质，即可求得∠PAB=∠PCD+∠APC．

解答：解：（1）如图①，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠1=180°，∠2+∠PCD=180°，
∵∠APC=∠1+∠2，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=∠PAB+∠1+∠2+∠PCD=360°；

如图②，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，
∵∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD；

（2）如图③，∵AB∥CD，
∴∠1=∠PCD，
∵∠1=∠PAB+∠APC，
∴∠PCD=∠PAB+∠APC；

如图④，∵AB∥CD，
∴∠1=∠PAB，
∵∠1=∠PCD+∠APC，
∴∠PAB=∠PCD+∠APC．

点评：此题考查了平行线的性质．注意掌握两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补与辅助线的添加方法是解此题的关键．