Question

在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．

请解答以下问题：
（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；
（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？

Answer 1

分析：（1）易得△ABN为等边三角形，可得∠NBP=30°，那么∠ABM=∠NBM=30°，就可推出∠MBP=∠BMP=60°，那么△BMP是等边三角形．
（2）由翻折易知BC≥BP，而BP=BM，利用30°的三角函数即可求得．

解答：解：（1）△BMP是等边三角形．
证明：连接AN，

∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN．
由折叠知AB=BN，
∴AN=AB=BN．
∴△ABN为等边三角形．
∴∠ABN=60°．
∴∠PBN=30°．
又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°，
∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°．
∴∠BMP=60°．
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°．
∴△BMP为等边三角形．

（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP，
在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°，
∴BP=

a

cos30°

．
∴b≥

a

cos30°

．
∴a≤

3

2

b．
∴当a≤

3

2

b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP．

点评：翻折前后对应角相等；对应边相等；注意特殊角及三角函数的应用．