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    在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将一个足够大的直角三角板ROQ的直角顶点O放在对角线AC上（除A、C两点外），将三角板绕点O旋转，两直角边OQ、OR与矩形两邻边分别交于E、F两点．
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    （1）如图1，若两直角边与边AB、BC相交，当三角板的直角顶点O与AC的中点重合时，请直接写出OE与OF的数量关系；
    （2）如图2，若两直角边与边AB、BC相交，当AO=m时，请写出OE与OF的数量关系，并证明你的结论；
    （3）请你在图3中画出当直角三角板ROQ的直角顶点O在对角线AC上滑动时，但OE与OF的数量关系不随之改变的某一时刻的图形．
    分析：（1）OE与OF的数量关系即AB与AD的边长比；
    （2）过点O作OM⊥AB，ON⊥BC，利用△OMF∽△ONE，可得出两线段之间的关系；
    （3）按题意作出图形，只要直角三角板ROQ的两直角边OQ、OR与矩形CD、BC边相交或与AB、AD边相交即可（过点O作OM⊥AB，ON⊥BC，利用△OMF∽△ONE，得出OE与OF只要直角顶点O在对角线AC上滑动，
    OE与OF的数量关系则不随之改变）．
    解答：精英家教网解：（1）OE与OF的数量关系是OE：OF=AB：AC=3：4；（1分）

    （2）
    OE
    OF
    =
    15-3m
    4m
    ．（2分）
    如图2，过点O分别作AB、BC的垂线，垂足为M、N．
    由题意易知，OM⊥ON，AC=5，BC=AD=4，
    ∵OM⊥AB，BC⊥AB∴OM∥BC．
    ∴△AOM∽△ACB．（3分）
    ∴
    OM
    BC
    =
    AO
    AC
    ．
    ∴
    OM
    4
    =
    m
    5
    ．精英家教网
    ∴MO=
    4m
    5
    ．（4分）
    同理可得ON=
    15-3m
    5
    ．（5分）
    ∵∠MOF+∠FON=90°，∠FON+∠EON=90°，
    ∴∠MOF=∠NOE．
    又∵∠OMF=∠ONE=90°，
    ∴△OMF∽△ONE．（6分）
    ∴
    OE
    OF
    =
    ON
    OM
    ．（7分）
    ∴
    OE
    OF
    =
    15-3m
    4m
    ．

    （3）如图，只要直角三角板ROQ的两直角边OQ、OR与矩形CD、BC边相交或与AB、AD边相交即可．（8分）
    点评：熟练掌握矩形的性质，能够运用相似三角形的性质，求解一些线段成比例的问题，会求解三角形相似．
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