Question

有没有这样的质数，当它加上10和14时仍为质数．若有，求出来；若没有，请证明．

Answer 1

答案：
解析：

因为2＋10＝12，2＋14＝16，所以质数2不适合， 因为3＋10＝13，3＋14＝17，所以质数3符合要求， 因为5＋10＝15，5＋14＝19，所以质数5不合要求， 因为7＋10＝17，7＋14＝21，所以质数7不适合， 因为11＋10＝21，11＋14＝25，所以质数11不适合， …… 从上面的观察，3合乎要求，但符合条件的质数是否只有3呢？这必须加以证明．证明除了3以外的所有正整数加上10和14均不能是质数．为此，把正整数按除3同余分类，即：3k－1，3k＋1(k为正整数)． 因为(3k－1)＋10＝3k＋9＝3(k＋3)是合数，(3k＋1)＋14＝3k＋15＝3(k＋5)是合数，所以3k－1和3k＋1这两类整数中的质数加上10和14后不能都是质数． 因此，在3k－1和3k＋1两类整数中的质数加上10和14后当然不能都是质数． 对于3k这类整数，只有在k＝1时，3k才是质数，其余均为合数． 所以所求的质数只有3．

提示：

可以采取先实验，观察，猜测出结论，然后证明．