Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．大圆的圆心是该抛物线的顶点D，小圆的圆心是该抛物线与x轴正半轴的交点B，大圆与x轴相切于点E，小圆与y轴相切于点O，两圆外切于点F，大圆半径R是小圆半径r的4倍．
（1）求ac+b的值；
（2）在抛物线上找点P，使△PAO能与△EBF相似（用含r的代数式表示点P的坐标，并证明△PAO与△EBF相似）．

Answer 1

分析：（1）连接DE．设⊙B、⊙D的半径分别为r、R，根据切线的性质得出DE⊥x轴于E，先用含r的代数式分别表示点A，B，D的坐标，再运用待定系数法求出经过A，B，D的解析式，得出a、b、c的值，代入即可求出ac+b的值；
（2）先在抛物线上找出点P，再证明△PAO与△EBF相似．为此，过点A作AP∥BD，交抛物线于点P，先运用待定系数法求出直线AP的解析式，再与（1）中求出的抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组求出交点P的坐标，然后通过计算得出AO：BF=AP：EB=5，又∠PAO=∠EBF，根据两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似得出△PAO∽△EBF．

解答：解：（1）连接DE．设⊙B、⊙D的半径分别为r、R（r＞0，R＞0），则有DE⊥x轴于E，且R=4r．
∴ED=4r，DB=5r，∴EB=AE=3r，
∴OE=2r，AO=5r，
∴A（-5r，0），B（r，0），D（-2r，-4r）．
设y=a（x+2r）²-4r，将B（r，0）代入，
得0=a（r+2r）²-4r，
解得a=

4

9r

，
∴y=

4

9r

（x+2r）²-4r，即y=

4

9r

x²+

16

9

x-

20

9

r，
∴ac+b=

4

9r

×（-

20

9

r）+

16

9

=

64

81

；

（2）过点A作AP∥BD，交抛物线于点P，连接PO、EF，则点P即为所求．
由B（r，0），D（-2r，-4r），
运用待定系数法求出直线BD的解析式为y=

4

3

x-

4

3

r，
∵AP∥BD，∴可设直线AP的解析式为y=

4

3

x+n，
将A（-5r，0）代入，得0=

4

3

×（-5r）+n，
解得n=

20

3

r，
∴直线AP的解析式为y=

4

3

x+

20

3

r．
解方程组

y= 4 9r x2+ 16 9 x- 20r 9 y= 4 3 x+ 20r 3

，
解得

x=4r y=12r

，

x=-5r y=0

（与A点重合，舍去）．
∴P点的坐标为（4r，12r），
∵A（-5r，0），∴AP=

(4r+5r)2+(12r)2

=15r，
∵AO=5r，BF=r，EB=3r，∴AO：BF=AP：EB=5，
∵AP∥BD，∴∠PAO=∠EBF，
∴△PAO∽△EBF．

点评：本题考查了直线与圆、圆与圆的位置关系，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平面直角坐标系中交点坐标的求法，相似三角形的判定，本题综合性较强，难度较大，需认真观察图形，正确地作出辅助线．