【题目】以四边形的边、、、为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为、、、,顺次连结这四个点,得四边形.
(1)如图1,当四边形为矩形时,请判断四边形的形状(不要求证明).
(2)如图2,当四边形为一般平行四边形时,设
①试用含的代数式表示,写出解答过程;
②求证:,并判断四边形是什么四边形?请说明理由.
【答案】(1)四边形是正方形;
(2)①=90°+,②HE=HG证明过程见详解;
四边形是正方形,理由见详解.
【解析】
(1)根据等腰直角三角形的性质得到∠E=∠F=∠G=∠H=90°,求出四边形是矩形,根据勾股定理求出AH=HD=AD,DG=GC=DC ,BF=CF=BC,EA=EB=AB,推出EF=FG=GH=EH,根据正方形的判定推出四边形EFGH是正方形即可;
(2)①根据平行四边形的性质得出,∠BAD=180°-,根据△HAD和△EAB是等腰直角三角形,得到∠HAD=∠EAB=45°,求出∠HAE即可;
②根据△AEB和△DGC是等腰直角三角形,得出AE=AB,DG=CD,平行四边形的性质得出AB=CD,求出∠HDG=90°+=∠HAE,根据SAS证△HAE≌△HDG,根据全等三角形的性质即可得出HE=HG;同理可得GH=GF,FG=FE,推出GH=GF=EF=HE,得出菱形EFGH,根据∠AHD=90°得∠EHG=90°,即可推出结论.
解:(1)∵以矩形的边、、、为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,
∴∠E=∠F=∠G=∠H=90°,∠HAD=∠EAB=45°,∠BAD=90°,
∴∠EAH=180°,即E、A、H三点在一条直线上,
同理可知:E、B、F三点共线,F、C、G三点共线,G、D、H三点共线,
∴AH=HD=AD,DG=GC=DC ,BF=CF=BC,EA=EB=AB,
∴EF=FG=GH=EH,
∴四边形EFGH是正方形.
(2)①∠HAE=90°+
解:在平行四边形ABCD中
AB//CD,
∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-
∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形,
∴∠HAD=∠EAB=45°,
∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-(180°-)=90°+
故用含的代数式表示∠HAE是90°+
,
②证明:∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形,
∴AE=AB,DG=DC
∵平行四边形ABCD中,AB=CD,
∴AE=DG,
∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形,
∴∠HDA=∠CDG=45°,
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+=∠HAE
∵△AHD是等腰直角三角形
∴HA=HD
∴△HAE≌△HDG
∴HE=HG.
答:四边形EFGH是正方形
理由是:
由以上同理可得:
GH=GF,FG=FE,
∵HE=HG,
∴GH=GF=EF=HE,
∴四边形EFGH是菱形,
∵△HAE≌△HDG,
∴∠DHG=∠AHE,
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°
∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°
∴四边形EFGH是正方形.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=,∠B=120°,点E是AD边上的一个动点(不与A,D重合),EF∥AB交BC于点F,点G在CD上,DG=DE.若△EFG是等腰三角形,则DE的长为_____.
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【题目】如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10= .
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【题目】操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q,设A、P两点间的距离为x.
探究:
(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察到的结论;
(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;(3)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应x的值;如果不可能,试说明理由.
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【题目】如图,OA,OB是⊙O的两条半径,OA⊥OB,C是半径OB上一动点,连结AC并延长交⊙O于D,过点D作圆的切线交OB的延长线于E,已知OA=8.
(1)求证:∠ECD=∠EDC;
(2)若tanA=,求DE长;
(3)当∠A从15°增大到30°的过程中,求弦AD在圆内扫过的面积.
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【题目】某商店一周内甲、乙两种计算器每天的销售量如下(单位:个):
类别/星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 平均数 |
甲 | ||||||||
乙 |
(1)将表格填写完整.
(2)求甲种计算器本周销售量的方差.
(3)已知乙种计算器本周销售量的方差为,本周哪种计算器的销售量比较稳定?说明理由.
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【题目】如图,正方形ABCD边长为3,连接AC,AE平分∠CAD,交BC的延长线于点E,FA⊥AE,交CB延长线于点F,则EF的长为__________.
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