Question

如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，点A坐标为（0，6），点C坐标为（3，0），BC=

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，一抛物线过点A、B、C．
（1）填空：点B的坐标为

 

；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）作平行于x轴的直线与x轴上方的抛物线交于点E、F，以EF为直径的圆恰好与x轴相切，求该圆的半径．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）可设点B的坐标为（a，6），根据两点间的距离公式即可得到关于a的方程，解方程求得a的值，进一步得到点B的坐标．
（2）已知抛物线过A，B，C三点，可根据三点的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）设以线段EF为直径的圆的半径为r，那么可用半径r表示出E，F两点的坐标，然后根据E，F在抛物线上，将E，F的坐标代入抛物线的解析式中，可得出关于r的方程，解方程即可得出的r的值．

解答：解：（1）设点B的坐标为（a，6），依题意有
（a-3）²+6²=（

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）²，
解得a₁=4，a₂=2（不合题意舍去），
故点B的坐标为（4，6）．

（2）令抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则

c=6 16a+4b+c=6 9a+3b+c=0

，
解得

a=2 b=-8 c=6

，
∴抛物线的解析式为y=2x²-8x+6．

（3）抛物线对称轴为x=2，
设E的坐标为（2-r，r），则F的坐标为（2+r，r），
而E点在抛物线y=2x²-8x+6上，
∴r=2（2-r）²-8（2-r）+6；
解得r₁=

1+ 17

4

，r₂=

1- 17

4

（舍去）；
故该圆的半径r=

1+ 17

4

．
故答案为：（4，6）．

点评：本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、直角梯形和切线的性质等重要知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．