Question

如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点C，且点C为线段OB的中点．
（1）求直线AC的表达式；
（2）如果四边形ACPB是平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵函数y=2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．
∴A（-6，0），B（0，12）．
∵点C为线段OB的中点．∴C（0，6）．
设直线AC的表达式为y=kx+b．
∴，
解得：，
故直线AC的表达式为y=x+6．

（2）解法一：∵四边形ACPB是平行四边形．
∴PC=AB且PC∥AB，PB=AC且PB∥AC．
如图1，过点P作y轴的垂线，垂足为Q．
可证得△PQB≌△AOC．
∴PQ=AO=6，BQ=CO=6．
∴QO=QB+OB=18．
∴P（6，18）．
解法二：如图2，∵四边形ACPB是平行四边形．
∴PC∥AB．
∵C（0，6）．
∴直线CP的解析式为y=2x+6．
设点P（x，2x+6）．
由，可得x=±6（负值舍去）．
∴P（6，18）．
分析：（1）根据直线AB的解析式求得点A、B的坐标，然后由已知条件“点C为线段OB的中点”求得点C的坐标；最后，利用待定系数法求直线AC的关系式；
（2）解法一：如图1，作辅助线PQ构建全等三角形△PQB≌△AOC，然后根据全等三角形的对应边相等、线段间的和差关系推知PQ、OQ的长度，即点P的坐标；
解法二：如图2，根据平行四边形的对边相互平行的性质，利用待定系数法求得直线PC的方程y=2x+6，故设点P（x，2x+6）．然后两点间的距离公式列出关于x的方程，通过解方程即可求得x的值．
点评：本题考查了一次函数综合题．解答（2）题时，注意“数形结合”数学思想的应用．