Question

【题目】如图，点在平行四边形的对角线上，过点、分别作、的平行线相交于点，连接，．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）+3

【解析】

（1）由外角的性质可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，又因为∠ABF=∠FBC+∠FCB，易得AB=AF，由菱形的判定定理可得结论；

（2）作DH⊥AC于点H，由特殊角的三角函数可得∠CBE=30°，由平行线的性质可得∠2=∠CBE=30°，利用锐角三角函数可得AH，DH，由菱形的性质和勾股定理得CH，得AC．

(1)证明：∵EF∥AB,BE∥AF，

∴四边形ABEF是平行四边形。

∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

∴ABEF是菱形；

(2)作DH⊥AC于点H，

∵sin∠CBE=，

∴∠CBE=30，

∵BE∥AC，

∴∠1=∠CBE，

∵AD∥BC，

∴∠2=∠1，

∴∠2=∠CBE=30，

Rt△ADH中，AH== ，

DH=∠2=4，

∵四边形ABEF是菱形，

∴CD=AB=BE=5，

Rt△CDH中,CH=

∴AC=AH+CH=+3.

故答案为：+3.