Question

19．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s．FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）连结EF、DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值；
（2）连结EP，设△EPC的面积为ycm²，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；
（3）若△EPQ与△ADC相似，请直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）由四边形EQDF为平行四边形，可得：DF=EQ，然后分别用含有t的式子表示DF与EQ即可求t的值；
（2）先证明△CPQ∽△CAB，然后根据相似三角形的对应边成比例，用含有t的式子表示PQ，然后根据三角形的面积公式即可y与t的函数关系式，然后根据二次函数的最值公式计算即可；
（3）首先分别从点E在FQ左边与右边，再由△EPQ∽△ACD；△EPQ∽△CAD．然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求出相应的t的值．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，∵AB=6cm，BC=8cm，
∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠B=90°，
∴由勾股定理得：AC=10，
∵FQ⊥BC，
∴∠FQC=90°，
∴四边形CDFQ是矩形，
∴DF=QC，DC=FQ=6cm，
∵点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，
∴t秒后，BE=2t，DF=QC=t，
∴EQ=BC-BE-QC=8-3t，
∵四边形EQDF为平行四边形，
∴FD=EQ，
即：8-3t=t，
解得：t=2；
（2）∵∠FQC=90°，∠B=90°，
∴∠FQC=∠B，
∴PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴$\frac{PQ}{AB}=\frac{QC}{BC}$，
即$\frac{PQ}{6}=\frac{t}{8}$，
∴PQ=$\frac{3}{4}t$，
∵S_△EPC=$\frac{1}{2}$EC•PQ，
∴y=$\frac{1}{2}$•（8-2t）•$\frac{3}{4}t$=-$\frac{3}{4}t$²+3t=-$\frac{3}{4}$（t-2）²+3，
即y=-$\frac{3}{4}$（t-2）²+3，
∵a=-$\frac{3}{4}$＜0，
∴y有最大值，当x=2时，y的最大值为3；
（3）分两种情况讨论：
若E在FQ左边，
①当△EPQ∽△ACD时，
可得：$\frac{PQ}{CD}=\frac{EQ}{AD}$，
即：$\frac{\frac{3}{4}t}{6}=\frac{8-3t}{8}$，
解得：t=2；
②当△EPQ∽△CAD时，
可得：$\frac{PQ}{AD}=\frac{EQ}{CD}$，
即$\frac{\frac{3}{4}t}{8}=\frac{8-3t}{6}$，
解得：t=$\frac{128}{57}$．
若E在FQ右边，
③当△EPQ∽△ACD时，
可得：$\frac{PQ}{CD}=\frac{EQ}{AD}$，
即：$\frac{\frac{3}{4}t}{6}=\frac{3t-8}{8}$，
解得：t=4（舍去）；
④当△EPQ∽△CAD时，
可得：$\frac{PQ}{AD}=\frac{EQ}{CD}$，
即$\frac{\frac{3}{4}t}{8}=\frac{3t-8}{6}$，
解得：t=$\frac{128}{39}$．
故若△EPQ与△ADC相似，则t的值为：2或$\frac{128}{57}$或$\frac{128}{39}$．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，动点问题，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，第（3）问的解题关键是：分两种情况讨论：①△EPQ∽△ACD；②△EPQ∽△CAD．