Question

如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子．动点P，Q同时从点A出发，点P沿A?B?C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A?D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm²．
（1）当0≤x≤1时，求y与x之间的函数关系式；
（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；
（3）当1≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ的变化范围；
（4）当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．

Answer 1

分析：（1）当0≤x≤1时，AP=2x，AQ=x，则y=

1

2

AQ•AP=x²．
（2）根据题意，橡皮筋刚好触及钉子时，橡皮筋扫过的面积正好是正方形的一半由此的求出x的值．
（3）要分两种情况进行讨论，一是橡皮筋刚触及钉子时及其以前，二是触及钉子，橡皮筋弯曲后两种情况．第一种情况，按梯形的面积进行计算．第二种情况要从中间分成两个梯形，然后按两个梯形的面积进行计算．
（4）根据（1）（2）（3）中得出的不同x的取值下的y的函数式画图即可．

解答：解：（1）当0≤x≤1时，AP=2x，AQ=x，y=

1

2

AQ•AP=x²，
即y=x²．

（2）当S_{四边形ABPQ}=

1

2

S_{正方形ABCD}时，橡皮筋刚好触及钉子，
BP=2x-2，AQ=x，

1

2

（2x-2+x）×2=

1

2

×2²，∴x=

4

3

．

（3）当1≤x≤

4

3

时，AB=2，PB=2x-2，AQ=x，
∴y=

AQ+BP

2

•AB=

x+2x-2

2

×2=3x-2，
即y=3x-2．
作OE⊥AB，E为垂足．
当

4

3

≤x≤2时，
BP=2x-2，AQ=x，OE=1，y=S_梯形BEOP+S_梯形OEAQ=

1+2x-2

2

×1+

1+x

2

×1=

3

2

x，
即y=

3

2

x．（6分）
90°≤∠POQ≤180°．

（4）如图所示：
．

点评：本题为运动型综合题，考查学生综合运用知识解决问题的综合能力．运动类题，要以特定静止状态，寻找量之间关系