Question

大力发展现代农业并提高科技含量，尽快缩短我国农业与西方发展国家的差距，是“两会”的热点话题之一．某地区积极响应国家的号召，研发并种植出一种绿色蔬菜，全部用来出口，由于供不应求，准备扩大生产规模，为调动菜农的积极性，从今年起，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴；经调查发现：种植亩数y（亩）与每亩补贴x（元），满足函数关系：y=8x+1600．每亩蔬菜的收益Z（元）与每亩补贴x（元）的一次函数关系如图所示，且每亩收益要求不低于2100元．
（1）求出Z与x的函数关系表达式；并写出x的取值范围；
（2）政府每亩补贴多少元时，这种蔬菜的总收益最大，并求出最大值；
（3）由于今年上半年受持续干旱等自然因素的影响，这种出口蔬菜每亩的实际收益将会减少x元，若今年要使这种蔬菜的总收益达到640万元，则政府每亩应补贴多少元？
（参考数据：，结果保留到整数位）

Answer 1

解：（1）设Z与x的函数关系表达式为：Z=kx+b，
把点（0，3000），（100，2700）代入上式，
得：Z=-3x+3000，
∵每亩收益要求不低于2100元，即Z=-3x+3000≥2100，
∴x≤300；

（2）总收益=（-3x+3000）（8x+1600）
=-24x²+19200x+4800000，
此函数为二次函数，开口向下，顶点坐标为最大值，即x=-=400，
∵x≤300，
∴当x=300时，函数取得最大值，
∵将300代入解析式得出最大值为8400000，
当政府补贴300元时，总收益最大为8400000．

（3）（Z-x）（8x+1600）=6400000，
即-32x²+17600x+4800000=6400000，
得x=275+25≈435＞300（不合题意，舍去）或x=275-≈115
所以政府每亩应补贴115元．
分析：（1）利用待定系数法求解Z与x的函数关系表达式；
（2）总收益=（-3x+3000）（8x+1600），化简-24x²+19200x+4800000，求最大最小值．
（3）使（Z-x）（8x+1600）=640万，求x．
点评：利用一次函数的性质解决际问题，把实际问题转换成简单的数学问题，学会利用二次函数最大最小值求解．