Question

如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线交y轴于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少；
（3）设E为线段OC上的三等分点，连接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）直接利用待定系数法将A、B、C的坐标代入抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）就可以求出抛物线的解析式．
（2）根据抛物线的解析式和直线的解析式及PQ⊥x轴可以设出P点的横坐标，从而可以表示出P、Q的坐标，再利用P、Q的纵坐标之差表示出PQ的长，最后利用抛物线的最值就可以求出PQ的值及P点的坐标．
（3）由条件求出E点的坐标，再由条件表示出P、Q的坐标，然后根据两点间的距离公式就可以分情况求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，3），由题意，得

0=a-b+c 0=9a+3b+c 3=c

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）；

（2）∵PQ⊥x轴，
∴P、Q的横坐标相同，
∵P点在直线y=x-1上，设P（a，a-1），则Q（a，-a²+2a+3），
∴PQ=-a²+2a+3-a+1=-a²+a+4，
∴PQ=-（a-

1

2

）²+

17

4

，
∴当a=

1

2

时，线段PQ最长为

17

4

，则P点坐标为（

1

2

，-

1

2

）；

（3）∵E为线段OC上的三等分点，且OC=3，
∴E（0，1）或E（0，2），
设P（p，p-1）（在y=x-1上），则Q（p，-p²+2p+3）．
当E（0，1）时，
∵EP=EQ，
∴（p-0）²+（p-1-1）²=（p-0）²+（-p²+2p+3-1）²，
∴p²+（p-2）²=p²+（p²-2p-2）²，
（p-2）²=（p²-2p-2）²，
①当 p²-2p-2=p-2时，
∴p（p-3）=0，
∴p=0或3，
当p=0，P（0，-1），Q（0，3），
当p=3，P（3，2），Q（3，0），
过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
∵直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，
∴x-1=-x²+2x+3，
解得：x₁=

1- 17

2

，x₂=

1+ 17

2

，
M的横坐标为

1- 17

2

，N点的横坐标为

1+ 17

2

，
∴P点横坐标：大于等于

1- 17

2

小于等于

1+ 17

2

，
∴P（3，2），Q（3，0）不符合要求舍去；
②p²-2p-2=-p+2，
整理得：p²-p-4=0，
解得：P₁=

1- 17

2

，p₂=

1+ 17

2

，
∵直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，
∴x-1=-x²+2x+3，
解得：x₁=

1- 17

2

，x₂=

1+ 17

2

，
M的横坐标为

1- 17

2

，N点的横坐标为

1+ 17

2

，
∵过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
∴P点横坐标：大于等于

1- 17

2

小于等于

1+ 17

2

，
当E（0，2）时，
∵EP=EQ，
∴（p-0）²+（p-1-2）²=（p-0）²+（-p²+2p+3-2）²，
p²+（p-3）²=p²+（p²-2p-1）²，
∴（p-3）²=（p²-2p-1）²．
③当 p²-2p-1=p-3时，
∴（p-1）（p-2）=0
∴p=1或2．
当p=1时，P（1，0），Q（1，4）
当p=2时，P（2，1），Q（2，3）
④p²-2p-1=-p+3
p²-p-4=0，
解得：P₁=

1- 17

2

＜-1，p₂=

1+ 17

2

＞2，
P（

1- 17

2

，

- 17 -1

2

）或（

1+ 17

2

，

17 -1

2

）．
综上所述，P点的坐标为：P（0，-1），P（1，0），P（2，1），P（

1- 17

2

，

- 17 -1

2

）或（

1+ 17

2

，

17 -1

2

）．
∵点P在线段MN上，
∴P点的坐标为：P（0，-1），P（1，0），P（2，1）．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的判定及性质，两点间的距离公式的运用，二次函数最值的运用．