Question

10．如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）与y轴正半轴交于C点，与x轴正半轴交于A，B两点，其中点A在点B左边，D为抛物线的顶点，连AC、BC、AD、BD
（1）若a=1，且∠ACO=∠OBC，求c的值；
（2）∠ADB=120°，求b²-4ac的值；
（3）如图2，直线y=kx+m交抛物线P、Q两点，P在点A左边，Q在点B右边，PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，AR⊥x轴交直线PQ于R，连RM、QB．直线y=kx+m交x轴正半轴于H点，若S_△RMA=4S_△QBN，求$\frac{BH}{MH}$的值．

Answer 1

分析 （1）先设抛物线与x轴交点A、B两点的坐标：设A（x₁，0），B（x₂，0），由根与系数的关系得：x₁•x₂=c，证明△AOC∽△COB，得OC²=OA•OB，则c²=x₁•x₂=c，解方程可得c的值；
（2）根据抛物线的对称性得：AD=BD，由等腰三角形性质和三角形内角和可知：∠DAB=30°，根据特殊的三角函数得：tan30°=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则AE=$\sqrt{3}$DE，列式可得结论；
（3）如图2，设A（x₁，0），B（x₂，0），由根与系数关系得：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，设P（x₃，kx₃+m），Q（x₄，kx₄+m），则ax²+bx+c=kx+m，同理得：x₃+x₄=-$\frac{b-k}{a}$，x₃x₄=$\frac{c-m}{a}$，
根据tan∠RMA-tan∠QBN列式，计算（kx₁+m）（x₄-x₂）-（kx₄+m）（x₁-x₃）=0，则∠RMA=∠QBN，得平行和相似，由相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于对应边的平方列式可得结论．

解答 解：（1）设A（x₁，0），B（x₂，0），
当a=1时，抛物线的解析式为：y=x²+bx+c，
当y=0时，x²+bx+c=0，
∴x₁•x₂=c，
∵∠ACO=∠OBC，∠AOC=∠AOC，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{OA}{CO}=\frac{OC}{OB}$，
∴OC²=OA•OB，
∴c²=x₁•x₂=c，
c（c-1）=0，
c₁=0（舍），c₂=1；
（2）如图1，∵∠ADB=120°，AD=BD，
∴∠DAB=30°，
过D作DE⊥AB于E，
∴tan30°=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AE=$\sqrt{3}$DE，
即：$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$=$\sqrt{3}$DE，
∵${x}_{1}=\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，${x}_{2}=\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，
∴x₂-x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}+b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{a}$，
∴$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=-$\sqrt{3}$$•\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，
b²-4ac=$\frac{4}{3}$；
（3）如图2，设A（x₁，0），B（x₂，0），
当y=0时，y=ax²+bx+c=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
设P（x₃，kx₃+m），Q（x₄，kx₄+m），
ax²+bx+c=kx+m，
ax²+（bx-k）x+c-m=0，
x₃+x₄=-$\frac{b-k}{a}$，x₃x₄=$\frac{c-m}{a}$，
tan∠RMA-tan∠QBN=$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-{x}_{3}}$-$\frac{k{x}_{4}+m}{{x}_{4}-{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+m）（{x}_{4}-{x}_{2}）-（k{x}_{4}+m）（{x}_{1}-{x}_{3}）}{（{x}_{1}-{x}_{3}）（{x}_{4}-{x}_{2}）}$，

∵（kx₁+m）（x₄-x₂）-（kx₄+m）（x₁-x₃）=k（x₄x₃-x₁x₂）+m（x₄+x₃-x₁-x₂）=k（$\frac{c-m}{a}$-$\frac{c}{a}$）+m（$\frac{k-b}{a}$+$\frac{b}{a}$）=0，
∴∠RMA=∠QBN，
∴PM∥QB，
∴△RMA∽△QBN，
∴$\frac{RM}{QB}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△RMA}}{{S}_{△QBN}}}$=2，
∵RM∥QB，
∴$\frac{BH}{MH}=\frac{BQ}{RM}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了抛物线与一元二次方程的关系、根与系数的关系、函数的交点、三角函数、三角形相似的性质和判定，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．