Question

5．已知长方形的生活小区OBCD的边长分别为40米和130米，如图，建立平面直角坐标系，“创文明城市”宣传车点P从点O出发，沿OB运动至点B停止，宣传车点Q从点C出发，沿CD运动至点D停止，两车同时出发，速度都是1米/秒；宣传车音响半径可达25米，（两点间距离公式：|AB|=$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+（{y}_{A}-{y}_{B}）^{2}}$）
（1）求直线OC的解析式；
（2）几秒时，△OPQ为等腰三角形？
（3）两辆宣传车的声音是否会互相干扰？如果会，求出受干扰的时间多长；如果不会干扰，写出理由．

Answer 1

分析 （1）设直线OC解析式为y=kx，把C坐标代入求出k的值，即可确定出直线OC解析式；
（2）分三种情况考虑：OP=PQ，PQ=QO，QO=OP，利用两点间的距离公式分别求出时间即可；
（3）两辆宣传车的声音会互相干扰，理由为：分别以点P、Q为圆心，25米为半径的圆，当两圆第一次相切时，开始干扰，当两圆第二次相切时，干扰结束，设当t秒时，两圆相切，利用两点间的距离公式列出方程，求出方程的解得到t的值，即可求出受干扰的时间．

解答 解：（1）直线OC的解析式为y=kx，
把点C（130，40）代入得，k=$\frac{4}{13}$，
则直线OC的解析式为y=$\frac{4}{13}$x；
（2）∵△OPQ为等腰三角形，
∴OP=PQ或PQ=QO或QO=OP，
第①种：设t秒时，OP=PQ；
∴OP²=PQ²，即t²=40²+（130-2t）²，
解得：t=50或t=$\frac{370}{3}$；
第②种：设t秒时，PQ=QO；
易得：OP=2DQ，即t=2（130-t），
解得：t=$\frac{260}{3}$；
第③种：设t秒时，QO=OP；
∴QO²=OP²，即40²+（130-t）²=t²，
解得：t=$\frac{925}{13}$，
综上所述，当t=50，t=$\frac{370}{3}$，t=$\frac{260}{3}$，t=$\frac{925}{13}$时，△OPQ为等腰三角形；
（3）会互相干扰，理由为：
依题意得，分别以点P、Q为圆心，25米为半径的圆，当两圆第一次相切时，开始干扰，当两圆第二次相切时，干扰结束，
设当t秒时，两圆相切，
∴PQ=50，即PQ²=2500，
∴40²+（130-2t）²=2500，
解得：t₁=5，t₂=8，
∴t₂-t₁=8-5=3（秒），
答：互相干扰时间为3秒．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式，以及等腰三角形的性质，熟练掌握两点间的距离公式是解本题的关键．