Question

9．已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF．
（1）求证：四边形ABGE是菱形；
（2）若∠ABC=60°，AB=4，AD=5，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）先证明AB=AE，由ASA证明△ABF≌△GBF，得出AB=GB，因此AE=GB，证出四边形ABGE是平行四边形，即可得出结论；
（2）过点F作FM⊥BC于点M，由菱形的性质得出∠GBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，BG=AB=4，BC=AD=5，在Rt△BFG中，由三角函数求出BF=2$\sqrt{3}$，在Rt△BFM中，求出FM=$\sqrt{3}$，再求出BM=3，得出CM=BC-BM=5-3=2，Rt△FMC中，由勾股定理即可得出CF的长．

解答 （1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC且AD=BC，
∴∠CBE=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB=∠CBE，∴AB=AE，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB=∠GFB=90°，
在△ABF和△GBF中，$\left\{\begin{array}{l}{ABE=∠CBE}&{\;}\\{BF=BF}&{\;}\\{∠AFB=∠GFB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△GBF（ASA），
∴AB=GB，
∴AE=GB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABGE是平行四边形，
又∵AB=GB，
∴四边形ABGE是菱形；

（2）解：过点F作FM⊥BC于点M，如图所示：
∵四边形ABGE是菱形，
∴∠GBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，BG=AB=4，BC=AD=5，
在Rt△BFG中，BF=cos∠GBF×BG=cos30°×4=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BFM中，FM=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
BM=cos∠GBF×BF=cos30°×BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{3}$=3，
∴CM=BC-BM=5-3=2，
∴Rt△FMC中，CF=$\sqrt{F{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定、三角函数、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．