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如图1,在平面直角坐标系中有矩形OABC,O是坐标系的原点,A在x轴上,C在y轴上,OA=6,OC=2.
(1)分别写出A、B、C三点的坐标;
(2)已知直线l经过点P(0,)并把矩形OABC的面积平均分为两部分,求直线l的函数表达式;
(3)设(2)的直线l与矩形的边OA、BC分别相交于M和N,以线段MN为折痕把四边形MABN翻折(如图2),使A、B两点分别落在坐标平面的A'、B'位置上.求点A'的坐标及过A'、B、C三点的抛物线的函数表达式.

【答案】分析:(1)由于在平面直角坐标系中有矩形OABC,O是坐标系的原点,A在x轴上,C在y轴上,OA=6,OC=2,由此即可求出A、B、C三点的坐标;
(2)根据题意知道l必过矩形OABC的对角线的交点,而根据已知条件可以确定对角线的交点坐标,直线又经过P,利用待定系数法即可确定直线的解析式;
(3)由于FM是直线与x轴的交点,利用直线解析式即可求出M的坐标,然后可以求出OM=1,AM=5,然后由矩形的中心对称性得CN=AM=5,BN=OM=1,过N作NE⊥x轴于E,则AE=BN=1,ME=AM-AE=5-1=4,又NE=2,根据勾股定理可以求出MN,连接AA'交l于F,由轴对称性质得AF⊥l(如图2),即AF⊥MN,AA'=2AF,又连接AN,在△AMN中,根据
AF•MN=AM•NE可以求出AF,然后即可求出AA',过A'作A'D⊥x轴于D,可以证明△ADA'∽△AFM,然后利用相似三角形的性质求出AD、OD的长度,在Rt△AA'D中利用勾股定理可以求出A′D、接着求出A′的坐标,再利用待定系数法可以确定过A'、B、C三点的抛物线的函数表达式.
解答:解:(1)A(6,0)(1分)
B(6,2)(2分)
C(0,2)(3分)


(2)由题意知,l必过矩形OABC的对角线的交点.
连接AC、OB,设交点为Q(如图1)
由矩形性质得Q(3,1)(1分)
把P(0,),Q(3,1)的坐标分别代入y=kx+b

解得(2分)
∴直线l的函数表达式是

(3)由题知FM是直线与x轴的交点,
当y=0时,x=1,
∴M(1,0),
∴OM=1,AM=5,由矩形的中心对称性,
得CN=AM=5,BN=OM=1,
过N作NE⊥x轴于E,
则AE=BN=1,ME=AM-AE=5-1=4,
又NE=2,
在Rt△MEN中,
连接AA'交l于F,由轴对称性质得AF⊥l(如图2),即AF⊥MN,AA'=2AF,
又连接AN,在△AMN中,AF•MN=AM•NE,

∴AA'=
过A'作A'D⊥x轴于D,
则△ADA'∽△AFM(一个直角对立相等及一个公共角)

∴AD=2,OD=6-2①,
在Rt△AA'D中,②,
∴由①②得A'(4,4)(3分),
把A'(4,4),B(6,2),C(0,2)的坐标分别代入y=ax2+bx+c,

解得,c=2,
∴过A'、B、C三点的抛物线的函数表达式是(4分).
点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有利用待定系数法确定抛物线解析式、直线的解析式及矩形的折叠问题和相似三角形的性质与判定.综合性很强,解题时一定要有信心和毅力.
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