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5.如图,等腰直角△CAB中,CA=CB,M、N在直线AB上,且∠MCN=135°,BM=8,AN=10,则MN=2$\sqrt{41}$.

分析 设AB=x,根据等腰三角形性质可得AC=BC=AB•cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x、∠CAM=∠NBC=135°、∠M+∠ACM=45°,再根据∠MCN=135°可得∠ACM+∠NCB=45°,即可知∠M=∠BCN,从而证得△ACM∽△BNC,由$\frac{AC}{BN}=\frac{AM}{BC}$可得关于x的方程,解方程求得x的值,最后由MN=BM+AN-AB可求得答案.

解答 解:设AB=x,
∵△CAB为等腰直角三角形,
∴∠CAB=∠CBA=45°,
∴AC=BC=AB•cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x,∠CAM=∠NBC=135°,∠M+∠ACM=45°,
又∵∠MCN=135°,且∠ACB=90°,
∴∠ACM+∠NCB=45°,
∴∠M=∠BCN,
∴△ACM∽△BNC,
∴$\frac{AC}{BN}=\frac{AM}{BC}$,
∵BM=8,AN=10,
∴AM=8-x,BN=10-x,
∴$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{10-x}=\frac{8-x}{\frac{\sqrt{2}}{2}x}$,即x2-36x+160=0,
解得:x1=18-2$\sqrt{41}$,x2=18+2$\sqrt{41}$(舍),
∴MN=BM+AN-AB=8+10-(18-2$\sqrt{41}$)=2$\sqrt{41}$,
故答案为:2$\sqrt{41}$.

点评 本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质,根据相似三角形的性质求得AB的长是解题的关键.

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