Question

如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，要使四边形EFGH是正方形，对角线AC、BD应满足的条件是

AC=BD且AC⊥BD

．

Answer 1

分析：添加的条件应为：AC=BD且AC⊥BD，把AC=BD作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四边形EFGH为菱形，进而利用对角线垂直得出菱形EFGH是正方形．

解答：解：添加的条件应为：AC=BD且AC⊥BD．
理由：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=

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AC；同理EF∥AC且EF=

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2

AC，同理可得EH=

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BD，
则HG∥EF且HG=EF，
∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH，
∴四边形EFGH为菱形，
∵AC⊥BD，EF∥AC，
∴EF⊥BD，
∵EH∥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴菱形EFGH是正方形．
故答案为：AC=BD且AC⊥BD．

点评：此题考查了正方形的判定以及三角形中位线的性质，灵活运用三角形的中位线定理以及平行线的性质得出是解题关键．