Question

【题目】如图，正方形ABCD中，M为BC上的点，E是AD的延长线的点，且AE＝AM，过E作EF⊥AM垂足为F，EF交DC于点N．

（1）求证：AF＝BM；

（2）若AB＝12，AF＝5，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DE＝1．

【解析】

（1）由正方形的性质和已知可得∠ABC=∠AFE=90°，由AD∥BC得∠AMB=∠EAF，根据“AAS”可证△ABM≌△EFA，可得AF=BM；

（2）由勾股定理可求AM=13，由全等三角形的性质可得AM=AE=13，即可求DE的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形

∴∠ABC=90°，AD∥BC

∴∠EAF=∠AMB，

∵EF⊥AM，

∴∠AFE=∠ABC=90°，

在△ABM和△EFA中，

，

∴△ABM≌△EFA（AAS）

∴AF=BM；

（2）解：∵AF=5，

∴BM=AF =5，

在Rt△ABM中，AB=12， BM=5，

∴AM=，

∴AE =AM= 13，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD =AB=12，

∴DE=AEAD=1312=1．