Question

2．在平面直角坐标系中，正方形OABC，A（6，0），B（6，6），C（0，6），现有一个动点P从C点出发，向y轴的负方向运动，速度为每秒1个单位，同时另一个动点Q以相同的速度．从A点出发，向x轴正方向运动，作直线PQ，交射线BA于D，设两运动点运动的时间为t秒．
（1）求证：△BCP≌△BAQ；
（2）求出直线PQ的解析式（用含的式子表示）；
（3）求t为何值时，△BDP为等腰三角形；
（4）当P在线段CO上运动时，过P、B、D三点的一个圆交BC于E，E点关于BP的对称点为F，在第一象限内是否存在一个点G，并且G到F的距离为定值，如存在，请直接写出这个定值；如不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接PB．依据题意可得到CP=AQ，然后依据正方形的性质可得到BC=AB，∠PCB=∠BAQ=90°，接下来依据SAS可证明△PCB≌△QAB；
（2）设点P的坐标为（0，6-t），则点Q的坐标为（6+t，0）．设直线PQ的解析式为y=kx+6-t，将点Q的坐标代入可求得直线PQ的解析式；
（3）当PA=PD时，如图2所示：连接PB，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则四边形BCPE为矩形，然后用含t的式子，表示出PO、BD的长，从而得到AD的长，然后证明△QDA∽△QPO，接下来，依据相似三角形对应边成比例列出关于t的方程即可；∴$\frac{AD}{PO}=\frac{AQ}{OQ}$，当t=6时，点D与点A重合，点P与点O重合，此时，△PBD为等腰直角三角形；如图3所示：当点P位于x轴的下方时，∠PDB为钝角，可证明△PDB不是等腰三角形此种情况不成立；
（4）连结BQ、PE，过点F作PI⊥OC，垂足为I．由题意可知点P的坐标为（0，6-t），Q的坐标为（6+t，）首先证明△PBQ为等腰直角三角形，于是可证明CE=AD，然后证明PB为∠EPD的角平分线，从而可得到点F在PQ上，接下来，证明△PCE≌△FIP，于是可证明CP=IF=t，PI=AD，将x=6代入直线PQ的解析式求得点D的纵坐标，从而得到AD的长，然后依据OI=PO-PI求得OI的长，从而得到点F的坐标为（t，$\frac{6（6-t）}{6+t}$），设点F的坐标为（x，y），消去字母t得到y与x的函数关系，然后依据点F的轨迹作出判断即可．

解答 解：（1）如图1所示：连接PB．

∵点P和点Q运动的速度相同，
∴CP=AQ．
∵四边形OABC为正方形，
∴BC=AB，∠PCB=∠BAQ=90°．
在△PCB和△QAB中$\left\{\begin{array}{l}{PC=AQ}\\{∠PCB=∠QAB}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△PCB≌△QAB．

（2）设点P的坐标为（0，6-t），则点Q的坐标为（6+t，0）．
设直线PQ的解析式为y=kx+6-t．
将点Q的坐标代入得：k（6+t）+6-t=0，解得：k=$\frac{t-6}{t+6}$，
∴直线PQ的解析式为y=$\frac{t-6}{t+6}$x+6-t．（t≥0）．
（3）当PA=PD时，如图2所示：连接PB，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则四边形BCPE为矩形．

∵四边形BCPE为矩形，
∴BE=CP=t．
∵PB=PD，PE⊥AB，
∴BE=ED=t，即BD=2t．
∵DA∥PO，
∴△QDA∽△QPO．
∴$\frac{AD}{PO}=\frac{AQ}{OQ}$，即$\frac{6-2t}{6-t}=\frac{t}{6+t}$，解得t=6$\sqrt{2}$-6（负值已舍去）．
当t=6时，点D与点A重合，点P与点O重合，此时，△PBD为等腰直角三角形．
如图3所示：当点P位于x轴的下方时，∠PDB为钝角．

要使△PBD为等腰三角形，则PD=BD．
∴∠PBD=∠BPD．
∵AB∥OC，
∴∠CPB=∠PBD．
∴∠CPB=∠DPB．
∵BC⊥OC，BE⊥PQ，
∴BC=BE=6．
又∵AB=6，BE＞AB，
∴假设不成立．
∴当点P位于x轴的下方时，△BPD不能构成等腰三角形．
综上所述，当t=6$\sqrt{2}$-6或t=6时，△BPD为等腰三角形．

（4）如图4所示：连结BQ、PE，过点F作PI⊥OC，垂足为I．

由题意可知点P的坐标为（0，6-t），Q的坐标为（6+t，）．
∵∠EBD=90°，
∴DE为圆的直径．
∴∠EPA=90°．
由（1）可知：△PCB≌△QAB．
∴PB=BQ，∠CBP=∠ABQ．
∴∠CBP+PBD=∠ABQ+∠PBA=90°，即∠PBQ=90°．
∴△PBQ为等腰直角三角形．
∴∠BPQ=45°．
∴PB平分∠EPD．
∴EB=BD．
∴CE=AD．
∵点F与点E关于PB对称，
∴点F在PB上，且PE=PF．
∵∠CPE+∠CEP=90°，∠IPF+∠CPE=90°，
∴∠CEP=∠IPF．
在△PCE和△FIP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CEP=∠IPF}\\{∠PIF=∠PCE}\\{EP=PF}\end{array}\right.$，
∴△PCE≌△FIP．
∴CP=IF=t，CE=PI．
∴PI=AD．
将x=6代入直线PQ的解析式得：y=$\frac{6（t-6）}{t+6}+6-t$．
∴AD=$\frac{6（t-6）}{t+6}+6-t$．
∴OI=PO-PI=$\frac{6（6-t）}{6+t}$．
设点F的坐标为（x，y），则x=t，y=$\frac{6（6-t）}{6+t}$．
将t=x代入得：y=$\frac{6（6-x）}{6+x}$=$\frac{78}{x+6}-6$，即y=$\frac{78}{x+6}-6$．
∴点F的轨迹为双曲线的一个部分．
∴第一象限内不存在一个点G，使G到F的距离为定值．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、圆周角定理以及其推理、轴对称图形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、角平分线的性质，用含t的式子表示出点F的坐标，然后消去字母t得到点F的纵坐标y与横坐标x的函数关系式是解题的关键．