Question

已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，BD是AC边上的中线，分别以AC、AB所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）
（1）求直线BD的函数关系式．
（2）直线BD上是否存在点M，使AM=AC？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出一次函数的一般形式，求出B、D两点坐标，代入求得直线BD的函数关系式；
（2）直线BD上存在点M，使AM=AC，①点M和点B重合；②点M和点B不重合，设M的坐标为（a，-2a+4），
利用勾股定理求得AM的长，建立方程，求出问题的解．

解答：解：（1）设直线BD的函数关系式为y=kx+b，
因为AB=AC=4，BD是AC边上的中线，
所以点B、D坐标分别为（0，4）（2，0）代入：y=kx+b，
得：y=-2x+4；

（2）存在点M，使AM=AC，
①点M和点B重合，所以点M为（0，4）；
②点M和点B不重合，
如图，连接AM，过M作MN⊥y轴于点N．
令点M的坐标为（a，-2a+4），
由AM=

a2+ (-2a+4)2

，
AM=AC可知

a2+ (-2a+4)2

=4，
解得a₁=0，a₂=

16

5

，
所以点M₁、M₂为（0，4）、（

16

5

，-

12

5

），
综上可知点M的坐标为M₁（0，4）、M₂（

16

5

，-

12

5

）．

点评：此题考查用待定系数法求一次函数，利用勾股定理解决点的存在性，渗透数形结合的思想．