Question

（2006•重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂两个三角形（如图所示）．将纸片△AC₁D₁沿直线D₂B（AB）方向平移（点A，D₁，D₂，B始终在同一直线上），当点D₁于点B重合时，停止平移．在平移过程中，C₁D₁与BC₂交于点E，AC₁与C₂D₂、BC₂分别交于点F、P．
（1）当△AC₁D₁平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D₁E与D₂F的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离D₂D₁为x，△AC₁D₁与△BC₂D₂重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值使得y=S_△ABC；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据AD₁=BD₂就可以证明AD₂=BD₁，根据等角对等边证明AD₂=D₂F，D₁E=D₁B即可．
（2）由于△AC₁D₁与△BC₂D₂重叠部分为不规则图形，所以将其面积转化为S_△BC2D2-S_△BED1-S_△FC2P，再求各三角形的面积即可．
（3）先假设存在x的值使得y=S_△ABC，再求出△ABC的面积，然后根据（2）所求y=-x²+x（0≤x≤5）建立等量关系，解出x的值，即可证明存在x的值．
解答：解：（1）D₁E=D₂F．
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠C₁=∠AFD₂．
又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁
∴∠C₁=∠A，
∴∠AFD₂=∠A
∴AD₂=D₂F．
同理：BD₁=D₁E．
又∵AD₁=BD₂，
∴AD₂=BD₁．
∴D₁E=D₂F．

（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10．
即AD₁=BD₂=C₁D₁=C₂D₂=5
又∵D₂D₁=x，
∴D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x．
∴C₂F=C₁E=x
在△BC₂D₂中，C₂到BD₂的距离就是△ABC的AB边上的高，为．
设△BED₁的BD₁边上的高为h，
由探究，得△BC₂D₂∽△BED₁，
∴．
∴h=．S_△BED1=×BD₁×h=（5-x）²
又∵∠C₁+∠C₂=90°，
∴∠FPC₂=90度．
又∵∠C₂=∠B，sinB=，cosB=．
∴PC₂=x，PF=x，S_△FC2P=PC₂×PF=x²
而y=S_△BC2D2-S_△BED1-S_△FC2P=S_△ABC-（5-x）²-x²
∴y=-x²+x（0≤x≤5）．

（3）存在．
当y=S_△ABC时，即-x²+x=6，
整理得3x²-20x+25=0．
解得，x₁=，x₂=5．
即当x=或x=5时，重叠部分的面积等于原△ABC面积的．
点评：本题综合性强，考查图形的平移、二次函数解析式的确定以及综合问题、分析问题、解决问题的能力，考查较全面．同时本题是一道操作性问题，而且是动态问题，第1小题不难解决，第2小题的一大难点是如何求阴影部分的面积，要注意领会这种整体补形法．