Question

3．解答下列问题：
（1）已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两根x₁，x₂（b²-4ac≥0）．用求根公式写出x₁，x₂，并证明x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x ₂=$\frac{c}{a}$
（2）若一元二次方程x²+x-1=0的两根为m，n，运用（1）中的结论，求$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用求根公式找出x₁，x₂，将其相加（相乘）整理后即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系即可得出m+n=-1、mn=-1，将$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$边形为$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$，再代入数据即可得出结论．

解答 （1）证明：∵x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，
∴x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，
∴x₁+x₂=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$+$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{-2b}{2a}$=-$\frac{b}{a}$．
x₁x₂=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$•$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{（-b）^{2}-（{b}^{2}-4ac）}{4{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}-{b}^{2}+4ac}{4{a}^{2}}$=$\frac{4ac}{4{a}^{2}}$=$\frac{c}{a}$．
（2）解：∵一元二次方程x²+x-1=0的两根为m，n，
∴m+n=-1，mn=-1，
∴$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{mn}$=$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$=$\frac{{1}^{2}-2×（-1）}{-1}$=-3．

点评 本题考查了根与系数的关系以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用公式法求出x₁，x₂的值；（2）根据根与系数的关系找出m+n=-1、mn=-1．