Question

18．如图，矩形ABCD，过点A作∠DAC的角平分线与BC的延长线相交于点E．
（1）若AB=$\sqrt{3}$，BC=1，求线段AE的长；
（2）若F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥FD．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形，得到∠ABC=90°，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠DAF=∠E，由角平分线的定义得到∠DAF=∠CAF，证得AC=CE，根据勾股定理即可得到结论；
（2）连接BD，由（1）知，∠ABC=90°，AE=2AB，由直角三角形的性质得到∠E=30°，证得∠BAE=60°，求出△ABF是等边三角形，得到∠ABF=60°，通过证明△ABD≌△FBD，于是得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAF=∠CAF，
∴∠CAF=∠E，
∴AC=CE，
∵AB=$\sqrt{3}$，BC=1，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2，
∴BE=3，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；

（2）连接BD，由（1）知，∠ABC=90°，AE=2AB，
∴∠E=30°，
∴∠BAE=60°，
∵F是AE的中点，
∴BF=AF=$\frac{1}{2}$AE，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=60°，
∵∠BAD=90°，AD=BC=1，BD=AC=2，
∴AD=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠ABD=30°，
∴∠DBF=30°，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD与△FBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△FBD，
∴∠BFD=∠BAD=90°，
∴BF⊥FD．

点评 本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．