Question

20．等腰梯形ABCD中，M和N分别为CD、AB的中点．过N作直线PQ和AD和CB的延长线分别交于P和Q，AC和PQ交于点R，求证：∠NMR=∠NMQ．

Answer 1

分析 证明：延长MR交AB于K，过A作AG∥BC交QP的延长线于G，由平行线的性质得到∠G=∠NQB，得到△AGN≌△QNB，得到AG=BQ，通过△AKR∽△CRM，得到$\frac{AK}{MC}=\frac{AR}{RC}$，由于AG∥BC，得到△AGR∽△QRC，求得$\frac{AR}{RC}$=$\frac{AG}{QC}$，通过△QBL∽△QCM，得到$\frac{QB}{QC}$=$\frac{LB}{MC}$，于是得到$\frac{AK}{CM}=\frac{LB}{MC}$，证得KN=NL，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：延长MR交AB于K，过A作AG∥BC交QP的延长线于G，
∴∠G=∠NQB，
在△AGN与△QNB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠NQB}\\{∠ANG=∠BNQ}\\{AN=BN}\end{array}\right.$，
∴△AGN≌△QNB，
∴AG=BQ，
∵AB∥CD，
∴△AKR∽△CRM，
∴$\frac{AK}{MC}=\frac{AR}{RC}$，
∵AG∥BC，
∴△AGR∽△QRC，
∴$\frac{AR}{RC}$=$\frac{AG}{QC}$，
∵AB∥CD，
∴△QBL∽△QCM，
∴$\frac{QB}{QC}$=$\frac{LB}{MC}$，
∴$\frac{AK}{CM}=\frac{LB}{MC}$，
∴AK=LB，
∴KN=NL，
在△MNK与△MNL中，$\left\{\begin{array}{l}{KN=NL}\\{∠MNK=∠MNL=90°}\\{MN=MN}\end{array}\right.$，
∴△MNK≌△MNL，
∴∠RMN=∠NMQ．

点评 本题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．